Спонтанное нарушение дискретной симметрии

[DismasK]

Теория двух действительных скалярных полей:

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2} (\partial \varphi_1)^2 + \frac{1}{2} (\partial \varphi_2)^2 -\frac{m_{11}^2}{2}\varphi_1^2 - {m_{12}^2}\varphi_1\varphi_2-\frac{m_{22}^2}{2}\varphi_2^2 - \frac{\lambda_{11}}{4}\varphi_1^4 - \frac{\lambda_{12}}{2}\varphi_1^2\varphi_2^2 - \frac{\lambda_{22}}{4}\varphi_2^4$$

Этот лагранжиан обладает симметрией к дискретным преобразованиям: $\varphi_1\to-\varphi_1, \; \varphi_2\to-\varphi_2$
Потенциальную часть можно представить в матричном виде:

$$\varphi^T M \varphi + (\varphi^2)^T \lambda (\varphi^2)$$

$$M=\begin{pmatrix} m_{11}^2 m_{12}^2 \\ m_{12}^2 m_{22}^2 \end{pmatrix} \qquad \lambda=\begin{pmatrix} \lambda_{11} \lambda_{12} \\ \lambda_{12} \lambda_{22} \end{pmatrix}$$

Нужно найти множество значений $m_{11}^2, \; m_{12}^2, \; m_{22}^2$ при которых симметрия не нарушается спонтанно.

Т.к. кинетическая часть дает положительный вклад, можно положить $\varphi_{1,2}=const$. Случай с положительно определенной формой $\varphi^T M \varphi$ очевиден, вопрос в том, не может ли быть нетривиального вакуума, который бы не нарушил симметрию. Я сначала начал искать экстремумы потенциала и проверять их на максимум и минимум. Там получается система уравнений третей степени:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \partial \varphi_1=m_{11}^2\varphi_1+m_{12}^2\varphi_2+\lambda_{11}\varphi_1^3+\lambda_{12}\varphi_2^2\varphi_1=0 \\ \partial\varphi_2=m_{22}^2\varphi_2+m_{12}^2\varphi_1+\lambda_{22}\varphi_2^3+\lambda_{12}\varphi_2\varphi_1^2=0 \\ \end{array} \right.$$

Решить в лоб не получается. Решение одного из уравнений дает непонятные дроби, которые еще надо подставлять потом в другое уравнение. Думаю, что есть какой-то обходной путь. Во-первых, мне известен один из экстремумов $\varphi_1=\varphi_2=0$. Только я не знаю, как с помощью этого упростить систему. Во-вторых,я искал случай, когда $v\ne0$, а вакуума $-v$ не существует, вот только я не уверен, что такая ситуация не будет нарушать симметрию. Следующий пункт задачи: в случае ненарушенной симметрии найти малые возбуждения над вакуумом. Я пробовал найти эти возбуждения в случае нетривиального вакуума. И заодно посмотреть когда не будет нарушаться симметрия. Выразив потенциал из предположения, что $v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$, и $v_{1,2}\ne0$, получаю $\varphi=v+\varphi=\begin{pmatrix} v_1+\varphi_1\\ v_2+\varphi_2 \end{pmatrix}$. В потенциале рассмотрев 1 и 3 степень полей:
$V=m_{11}^2 v_1 \varphi_1 + m_{12}^2\varphi_1 v_2 +m_{12}^2v_1\varphi_2 + m_{22}^2 v_2 \varphi_2 + \lambda_{11}v_1^3\varphi_1 + \lambda_{11}v_1\varphi_1^3 + \lambda_{12}v_1 v_2^2\varphi_1 + +\lambda_{12}v_1\varphi_1\varphi_2^2 + \lambda_{12}v_1^2 v_2\varphi_2 + \lambda_{12}v_2\varphi_1^2\varphi_2 + \lambda_{22}v_2^3\varphi_2 + \lambda_{22}v_2\varphi_2^3$

Чтобы нарушения симметрии не было, это выражение должно быть равно нулю. Сгруппировав слагаемые с $\varphi_1, \; \varphi_1^3,\; \varphi_2, \; \varphi_2^3$, получаю систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m_{11}^2 v_1 + m_{12}^2v_2 + \lambda_{11}v_1^3 + \lambda_{12}v_1 v_2^2 + \lambda_{12}v_1\varphi_2^2 = 0\\ \\ \lambda_{11}v_1=0 \\ \\ m_{12}^2v_1+ m_{22}^2 v_2+ \lambda_{12}v_1^2 v_2+ \lambda_{12}v_2\varphi_1^2+ \lambda_{22}v_2^3=0 \\ \\ \lambda_{22}v_2=0 \\ \end{array} \right.$$

.
Отсюда видно, что выражение равно нулю только в случае тривиального вакуума, но мне кажется, я что-то упустил или где-то ошибся.

В общем, непонятно, как найти нетривиальный вакуум. А если его нет, то как это показать?