Сумма ряда

[Sicker]

Лукомор в сообщении #1431555 писал(а):

Эти фрагменты я оставляю, как они есть, а серединку - инвертирую,
при этом у меня $\sum\limits_{5}^{3} a_i = \sum\limits_{3}^{5} a_i$

Что взято с потолка

Лукомор в сообщении #1431555 писал(а):

Sicker предлагает разбивать этот интервал так:
$\sum\limits_{1}^{7} a_i = \sum\limits_{1}^{4} a_i + \sum\limits_{5}^{3} a_i +\sum\limits_{4}^{7} a_i$.

Я нигде такого не предлагал (это равенство конечно верно, но абсолютно бесполезно при выводе наших сумм, т.к. мы не можем такого написать априори не зная что такое $\sum\limits_{5}^{3} a_i$)

(Оффтоп)

т.е. вы сейчас хотите все наизнанку вывернуть и показать, что ваше доопределение более естественно, не получится

Лукомор в сообщении #1431555 писал(а):

Здесь же мы наблюдаем
$a_5 + a_4 = 0$
$a_5 + a_4 + a_3 = -a_4$
$a_5 + a_4 + a_3 +a_2 = -(a_3 + a_4)$

Эти равенства просто неверны

-- 24.12.2019, 02:22 --

Лукомор
Кстати вы так и не ответили чему равна сумма если в ней ноль слагаемых (а слева от нее стоит $0+$ для формальности)

[Лукомор]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1431746 писал(а):

Кстати вы так и не ответили чему равна сумма если в ней ноль слагаемых (а слева от нее стоит $0+$ для формальности)

Как же я мог ответить на вопрос, который Вы еще не сформулировали?

-- Вт дек 24, 2019 02:02:20 --

Sicker в сообщении #1431130 писал(а):

$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=-a_4$

svv в сообщении #1431134 писал(а):

Мы сходимся в том, что $\sum\limits_{k}^{k-1}=0$.

Sicker в сообщении #1431746 писал(а):

Эти равенства просто неверны

То-есть, обсуждать больше и нечего?

[Sicker]

Лукомор в сообщении #1431748 писал(а):

Как же я мог ответить на вопрос, который Вы еще не сформулировали?

Собственно, вот - как из вашей логики вы прокомментируете вот это

Sicker в сообщении #1431501 писал(а):

Вот вам еще доказательство $\sum_k^{k-1} = 0$
$\sum_{i=k}^{n} a_i =0+ a_k+...+a_n$ с $n-k+1$ слагаемым, содержащим $a_i$
При $n=k-1$ будет ноль слагаемых с $a_i$, значит останется только ноль и сумма будет равна нулю

и не надо говорить про отрицательное число слагаемых - оно у нас не отрицательное, а нулевое (что эквивалентно их отсутствию)

Лукомор в сообщении #1431748 писал(а):

То-есть, обсуждать больше и нечего?

Какой смысл писать равенство между выводами из противоречивых определений?

[Лукомор]

Sicker в сообщении #1431746 писал(а):

это равенство конечно верно, но абсолютно бесполезно при выводе наших сумм, т.к. мы не можем такого написать априори не зная что такое $\sum\limits_{5}^{3} a_i$

Я же объяснил выше, что такое Ваши эти суммы.
Я их вывел, и достаточно строго,
просто из-за того, что я там приплел еще свои суммы,
то получилась каша.

(Оффтоп)

Предлагаю далее перестать обсуждать мои суммы, тьфу на них!
Я от них отрекаюсь, хотя это просто два альтернативных способа записи инвертированного суммирования
как, для примера, две разных неевклидовых геометрии...
Пусть остается один Ваш способ, мне не принципиально.

Повторяю ту часть моих рассуждений, которая про Ваши суммы,
ту часть, которая объясняет априори, что такое эти Ваши суммы.

Пусть у нас есть числовой ряд $a_1+a_2+a_3+\dots +a_i=\sum\limits_{1}^{n} a_i$.
Мы хотим, для некоторой части последовательных членов этого ряда,
$a_k+a_{k+1}+\dots+a_l$ определить смысл сокращенной записи $\sum\limits_{l}^{k} a_i$, где $l>k$ и установить правила вычисления такого выражения.

При этом необходимо обобщить правило
$\sum\limits_a^b=\sum\limits_a^m+ \sum\limits_{m+1}^b$
на случай, когда верхний предел меньше нижнего.

В соответствии с этим правилом разобьём сумму исходного ряда на три суммы:
$\sum\limits_{1}^{n} a_i = \sum\limits_{1}^{l-1} a_i + \sum\limits_{l}^{k} a_i +\sum\limits_{k+1}^{n} a_i$.
Поскольку $l>k$ ,
интервалы первой и третьей сумм перекрываются,
при этом интервал $a_{k+1}+\dots+a_{l-1}$ продублирован и в первой сумме и в третьей.

Для того, чтобы сумма исходного ряда не изменилась, полагаем:
$\sum_{l}^{k}=-\sum_{k+1}^{l-1}$,
где $k<l$.
Это есть правило нахождения Ваших сумм:
"При перестановке пределов суммирования члены ряда на краях интервала,
$a_k$ и $a_l$ обнуляются, а члены ряда внутри интервала, $a_i (k<i<l)$ меняют знак."
В частности, в соответствии с этим правилом:
$\sum\limits_{k}^{k-1} a_i=0$
$\sum\limits_{5}^{3} a_i=-a_4$

-- Вт дек 24, 2019 03:37:38 --

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1431750 писал(а):

Какой смысл писать равенство между выводами из противоречивых определений?

Это Ваше всё: Ваши противоречивые определения, и Ваши равенства,
и Ваш вывод, что Ваши равенства не верны, кстати и вывод не верный...
Причем здесь Лукомор?!

-- Вт дек 24, 2019 03:40:42 --

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1431750 писал(а):

Собственно, вот - как из вашей логики вы прокомментируете вот это

Уже прокомментировал Выше... исходя из Вашей логики...

-- Вт дек 24, 2019 03:48:39 --

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1431746 писал(а):

Что взято с потолка

"Я с полу не поднимаю!"
(с) Лукомор

[mihaild]

Я не очень понимаю, о чем спор.
Есть семейство функционалов на последовательностях $\sum_a^b$ для натуральных $b \geqslant a$. Можно придумать еще кучу функционалов на последовательностях, и какие-то из них обозначить $\sum_a^b$ для каких-то $b < a$. Мне (и, видимо, не только) представляется удобным при таком доопределении сохранить свойство $\sum_a^b + \sum_{b + 1}^c = \sum_a^c$ (и с этим свойством доопределение однозначно). Можно сказать что $\sum_a^b = 0$ при $b < a$, а можно что $\sum_a^b = \sum_b^a$. При большом желании можно доопределить даже $\sum_a^b = \log_{a + 42}(\sum_b^a)^b$. Тут надо смотреть, где и как мы захотим это использовать.

[Лукомор]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1431793 писал(а):

Я не очень понимаю, о чем спор.

Уже никто не спорит. Это отголоски былого спора.
Изначально спор был о том:" У кого правильнее?"
Потом все, я надеюсь, поняли, что:

mihaild в сообщении #1431793 писал(а):

Можно сказать что $\sum_a^b = 0$ при $b < a$, а можно что $\sum_a^b = \sum_b^a$

-- Вт дек 24, 2019 17:28:51 --

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1431793 писал(а):

Тут надо смотреть, где и как мы захотим это использовать.

Если возникнет необходимость это где-то использовать, сразу же появятся и соответствующие
доопределения в соответствии с той задачей, для решения которой это потребуется ,
и соответствующие конструкции в языках программирования.

Пока мы нигде не хотим это использовать, всё это - игры чистого разума, просто забавный артефакт...

[Sicker]

Лукомор в сообщении #1431752 писал(а):

Я же объяснил выше, что такое Ваши эти суммы.
Я их вывел, и достаточно строго

Да, точно :)

Лукомор в сообщении #1431752 писал(а):

усть у нас есть числовой ряд $a_1+a_2+a_3+\dots +a_i=\sum\limits_{1}^{n} a_i$.
Мы хотим, для некоторой части последовательных членов этого ряда,
$a_k+a_{k+1}+\dots+a_l$ определить смысл сокращенной записи $\sum\limits_{l}^{k} a_i$, где $l>k$ и установить правила вычисления такого выражения.

При этом необходимо обобщить правило
$\sum\limits_a^b=\sum\limits_a^m+ \sum\limits_{m+1}^b$
на случай, когда верхний предел меньше нижнего.

В соответствии с этим правилом разобьём сумму исходного ряда на три суммы:
$\sum\limits_{1}^{n} a_i = \sum\limits_{1}^{l-1} a_i + \sum\limits_{l}^{k} a_i +\sum\limits_{k+1}^{n} a_i$.
Поскольку $l>k$ ,
интервалы первой и третьей сумм перекрываются,
при этом интервал $a_{k+1}+\dots+a_{l-1}$ продублирован и в первой сумме и в третьей.

Для того, чтобы сумма исходного ряда не изменилась, полагаем:
$\sum_{l}^{k}=-\sum_{k+1}^{l-1}$,
где $k<l$.
Это есть правило нахождения Ваших сумм:
"При перестановке пределов суммирования члены ряда на краях интервала,
$a_k$ и $a_l$ обнуляются, а члены ряда внутри интервала, $a_i (k<i<l)$ меняют знак."
В частности, в соответствии с этим правилом:
$\sum\limits_{k}^{k-1} a_i=0$
$\sum\limits_{5}^{3} a_i=-a_4$

Можно вывести проще $\sum_{m}^{m}=\sum_{m}^{n}+\sum_{n+1}^{m} \rightarrow \sum_{m}^{n}= -\sum_{n+1}^{m-1}$
Кстати, это тождество верно для любых $m,n$, проверьте

Лукомор в сообщении #1431752 писал(а):

Это Ваше всё: Ваши противоречивые определения

Где вы увидели противоречия в моих определениях?

Лукомор в сообщении #1431752 писал(а):

и Ваши равенства,
и Ваш вывод, что Ваши равенства не верны, кстати и вывод не верный...

Доказательства в студию! Ваше адхокое

Цитата:

Эти фрагменты я оставляю, как они есть, а серединку - инвертирую,
при этом у меня $\sum\limits_{5}^{3} a_i = \sum\limits_{3}^{5} a_i$

взятое из мизинца левой ноги аргументом не является

Лукомор в сообщении #1431804 писал(а):

Уже никто не спорит. Это отголоски былого спора.
Изначально спор был о том:" У кого правильнее?"
Потом все, я надеюсь, поняли, что:
mihaild в сообщении #1431793

писал(а):
Можно сказать что $\sum_a^b = 0$ при $b < a$, а можно что

Нет, моё определение самое естественное и последовательное для таких сумм, т.к. базируется на основном тождестве для сумм, а также независимо получается при переходе к интегральному представлению. А также дает верный результат $\sum\limits_{k}^{k-1}=0$, который следует из обычного определения суммы ряда.
Второе по естественности определение это считать все такие суммы нулевыми

Лукомор в сообщении #1431804 писал(а):

Пока мы нигде не хотим это использовать, всё это - игры чистого разума, просто забавный артефакт...

Что значит использовать? Вообще вся математика это

Лукомор в сообщении #1431804 писал(а):

игры чистого разума, просто забавный артефакт...

(Оффтоп)

Я кстати вспомнил ваше участие в темах, посвященных теории множеств, например задаче Харди про бесконечную корзину шаров, где вы тоже высказывали мнения, расходящиеся с общепринятыми в математике

-- 24.12.2019, 21:32 --

Цитата:

Эти фрагменты я оставляю, как они есть, а серединку - инвертирую,
при этом у меня $\sum\limits_{5}^{3} a_i = \sum\limits_{3}^{5} a_i$

Проблема с этим определением в том, что оно противоречит тому, что мы производим счет в сторону возрастания индексов. Можно это явно уточнить, хотя это следует из определения

-- 24.12.2019, 21:35 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1431546 писал(а):

Какая польза от такого «обобщения модулем»?

Там даже не модуль, а $1+|1-x|$, обобщение "по модулю" давало бы $\sum_{k}^{k-1}= 0$

[Лукомор]

Sicker в сообщении #1431813 писал(а):

Можно вывести проще $\sum_{m}^{m}=\sum_{m}^{n}+\sum_{n+1}^{m} \rightarrow \sum_{m}^{n}= -\sum_{n+1}^{m-1}$
Кстати, это тождество верно для любых $m,n$, проверьте

Я проверил. Оно верное. Я его вывел по своему, всё совпало.
Оно верное в вашей аксиоматике.

[Sicker]

Лукомор в сообщении #1431815 писал(а):

Оно верное в вашей аксиоматике.

У меня нет никакой аксиоматики, это такое же естественное обобщение, как и обобщение определенного интеграла на случай, когда верхний предел меньше нижнего. Или вы с ним тоже не согласны

[Лукомор]

Sicker в сообщении #1431813 писал(а):

Где вы увидели противоречия в моих определениях?

Я их не увидел.
Моя фраза была реакцией на Ваше:

Sicker в сообщении #1431750 писал(а):

Какой смысл писать равенство между выводами из противоречивых определений?

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1431813 писал(а):

Доказательства в студию!

Доказательство чего?
Вот доказательство:

Sicker в сообщении #1431746 писал(а):

Эти равенства просто неверны

Это Вы сказали про равенства
$\sum\limits_{k}^{k-1}=0$
и $\sum\limits_{5}^{3}=-a_4$

-- Вт дек 24, 2019 21:26:18 --

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1431816 писал(а):

У меня нет никакой аксиоматики, это такое же естественное обобщение

Пусть будет "естественное обобщение". Не цепляйтесь к словам...

-- Вт дек 24, 2019 21:28:31 --

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1431813 писал(а):

взятое из мизинца левой ноги аргументом не является

Повторюсь

Лукомор в сообщении #1431752 писал(а):

Предлагаю далее перестать обсуждать мои суммы, тьфу на них!
Я от них отрекаюсь, хотя это просто два альтернативных способа записи инвертированного суммирования
как, для примера, две разных неевклидовых геометрии...
Пусть остается один Ваш способ, мне не принципиально.

-- Вт дек 24, 2019 21:40:29 --

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1431813 писал(а):

Что значит использовать?

Использовать - значит применять на практике.
Еще раз, не цепляйтесь к словам.
И это я не Вам отвечал.

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1431813 писал(а):

Я кстати вспомнил ваше участие в темах, посвященных теории множеств, например задаче Харди про бесконечную корзину шаров, где вы тоже высказывали мнения, расходящиеся с общепринятыми в математике

Очень не кстати Вы это вспомнили, ещё взятие Бастилии нужно было... до кучи...
Мое участие в темах отражает моё личное мнение, и поэтому расходится с общепринятым мнением.
Зато я теперь знаю ответ на вопрос, который задавал тогда, и на который не получил вразумительного ответа.
Я его нашел сам, гораздо позднее, и это дорогого стоит.

-- Вт дек 24, 2019 21:46:45 --

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1431813 писал(а):

Проблема с этим определением в том, что оно противоречит тому, что мы производим счет в сторону возрастания индексов. Можно это явно уточнить, хотя это следует из определения

Так это, получается, ваша проблема, что вы не умеете вести счет в сторону убывания индексов!
Впрочем, забудьте про это моё суммирование, нет его.
И не было никогда...

[Sicker]

Лукомор в сообщении #1431817 писал(а):

Я их не увидел.
Моя фраза была реакцией на Ваше:

Так вы говорили про противоречие в моих равенствах, а не про противоречие между моими и вашими равенствами

Лукомор в сообщении #1431817 писал(а):

Это Вы сказали про равенства
$\sum\limits_{k}^{k-1}=0$
и $\sum\limits_{5}^{3}=-a_4$

Нет, это я сказал про

Лукомор в сообщении #1431555 писал(а):

Здесь же мы наблюдаем
$a_5 + a_4 = 0$
$a_5 + a_4 + a_3 = -a_4$
$a_5 + a_4 + a_3 +a_2 = -(a_3 + a_4)$

Лукомор в сообщении #1431817 писал(а):

Повторюсь
Лукомор в сообщении #1431752

писал(а):
Предлагаю далее перестать обсуждать мои суммы, тьфу на них!
Я от них отрекаюсь, хотя это просто два альтернативных способа записи инвертированного суммирования
как, для примера, две разных неевклидовых геометрии...
Пусть остается один Ваш способ, мне не принципиально.

Покажите мне альтернативный способ определения определенного интеграла, когда верхний перед меньше нижнего

Лукомор в сообщении #1431817 писал(а):

Использовать - значит применять на практике.

А математика это не про практику

Лукомор в сообщении #1431817 писал(а):

Очень не кстати Вы это вспомнили, ещё взятие Бастилии нужно было... до кучи...
Мое участие в темах отражает моё личное мнение, и поэтому расходится с общепринятым мнением.
Зато я теперь знаю ответ на вопрос, который задавал тогда, и на который не получил вразумительного ответа.
Я его нашел сам, гораздо позднее, и это дорогого стоит.

А можете сказать, что за вопрос и ответ, к которому вы пришли? Мне прям интересно

Лукомор в сообщении #1431817 писал(а):

Так это, получается, ваша проблема, что вы не умеете вести счет в сторону убывания индексов!

Стойте, вы не поняли Я то как и вы умею вести счет в сторону убывания индексов, тут дело в другом - мы определяем такую сумму как счет в сторону возрастания индексов. Ну или специально для Лукомора можно как-то обозвать такое суммирование, чтобы не подменять понятия. И перед нами встает вопрос, что является результатом суммы при счете от $5$ до $4$ при условии, что мы считаем только "вверх". Это примерно такой же вопрос, что такое нецелое число раз перемножить пятерки и т.д. Т.е. мы должны как-то разумно обобщить такую операцию. И суммирование также однозначно естественно обобщается, как и степень на нецелые показатели.
Кстати вот вам еще задачка - обобщите на нецелые $n$ произведение $\prod_{1}^{n}(2n-1)$.
Подсказка - посмотрите на гамму функцию
P.S. И кончайте злоупотреблять тегом оффтоп

[Лукомор]

Sicker в сообщении #1431821 писал(а):

P.S. И кончайте злоупотреблять тегом оффтоп

Я бы и оффтопить давно прекратил, если бы Вы ко мне не цеплялись...

-- Вт дек 24, 2019 22:28:18 --

Sicker в сообщении #1431821 писал(а):

Кстати вот вам еще задачка - обобщите на нецелые $n$ произведение $\prod_{1}^{n}(2n-1)$.

Не хочу!
Вам результат опять сильно не понравится...

-- Вт дек 24, 2019 22:47:02 --

Sicker в сообщении #1431821 писал(а):

И перед нами встает вопрос, что является результатом суммы при счете от $5$ до $4$ при условии, что мы считаем только "вверх".

Вы уже как-то определитесь, или "от $5$ до $4$", или "только вверх".
В моем понимании, "только вверх" - это строго по возрастанию индексов.
Ну, то-есть, сначала посчитать кусок ряда от пяти до бесконечности, потом прибавить еще кусок от минус бесконечности до четырех!
$\sum\limits_{5}^{4}=\sum\limits_{5}^{\infty}+\sum\limits_{-\infty}^{4}$
Это будет "строго по возрастанию индексов".
От пяти до четырех - это будет как раз "от нижней границы суммирования до верхней",
Тут уже будет $\sum\limits_{5}^{4}=0$, или как-то по другому, в зависимости от того, как мы это действие определим...

-- Вт дек 24, 2019 22:56:22 --

Sicker в сообщении #1431821 писал(а):

А математика это не про практику

Цитата:

Самое начало фильма "Игры разума":

Цитата:

Математики выиграли войну. Математики распознали японские шифры
и создали атомную бомбу.

-- Вт дек 24, 2019 23:00:26 --

Sicker в сообщении #1431821 писал(а):

Так вы говорили про противоречие в моих равенствах

Да. Про Ваши равенства.
Никаких моих равенств нет, я про них давно уже не говорю, для всеобщего спокойствия.

-- Вт дек 24, 2019 23:02:33 --

Sicker в сообщении #1431821 писал(а):

Покажите мне альтернативный способ определения определенного интеграла, когда верхний перед меньше нижнего

Понятия не имею.
Это Вы у математиков спросите, как они делают такие штуки.
Я-то здесь причем...

[Sicker]

Лукомор в сообщении #1431822 писал(а):

Вам результат опять сильно не понравится...

А какой у вас результат?

Лукомор в сообщении #1431822 писал(а):

Вы уже как-то определитесь, или $5$ до $4$, или "только вверх".

И то, и другое

Лукомор в сообщении #1431822 писал(а):

Ну, то-есть, сначала посчитать кусок ряда от пяти до бесконечности, потом прибавить еще кусок от минус бесконечности до четырех!

Обоснуйте переход от плюс к минус бесконечности

Лукомор в сообщении #1431822 писал(а):

От пяти до четырех - это будет как раз "от нижней границы суммирования до верхней"

Еще раз - мы не можем по-рабоче крестьянски посчитать от пяти до четырех только по возрастанию индексов, также как мы не можем перемножить нецелое число слагаемых, что не мешает нам однозначно обобщить, что будет результатом такой операции. И вы никак не прокомментировали, считаете ли вы что сумма нулевого числа слагаемых равна нулю (а произведение нулевого числа сомножителей единице). Вот вам еще задачка, чему равна башня степеней $z^{x^{y^.{..}}}$ при нулевом числе составляющих?

Лукомор в сообщении #1431822 писал(а):

Цитата:

Самое начало фильма "Игры разума":
Цитата:

Математики выиграли войну. Математики распознали японские шифры
и создали атомную бомбу.

Я имел ввиду, что не все области математики имеют практическое применение.
И кстати, что насчет вашего ответа

Лукомор в сообщении #1431817 писал(а):

Зато я теперь знаю ответ на вопрос, который задавал тогда, и на который не получил вразумительного ответа.
Я его нашел сам, гораздо позднее, и это дорогого стоит.

хотя бы вопрос озвучите?

[Лукомор]

Sicker в сообщении #1431821 писал(а):

А можете сказать, что за вопрос и ответ, к которому вы пришли? Мне прям интересно

Вопрос:"Как могут быть вынуты все шарики,
если на каждый вынутый приходится 10 одновременно с этим вложенных?"
Иными словами:
"В какой момент времени количество шариков в ящике начнет уменьшаться?"
Ответ не скажу, это долго объяснять, и вообще здесь это оффтопик...

-- Вт дек 24, 2019 23:17:00 --

Sicker в сообщении #1431829 писал(а):

Обоснуйте переход от плюс к минус бесконечности

А бесконечность у нас одна!
Она же плюс, она же и минус.
А весь этот участок текста про "только вверх", специально для Вас, окружен смайликами.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Лукомор в сообщении #1431830 писал(а):

Она же плюс, она же и минус.

Ну вообще-то зависит от условий. Может быть одна, может быть две. Могут быть по одной комплексной бесконечности на каждый аргумент [комплексного числа]. Сколько полезно, столько и введём.