2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):
то уровней не будет вообще.
Значит для любого связанного состояния (уровня энергии) в яме должно выполняться $E_n\le U_1$. Нельзя ли отсюда получить условие появления первого уровня?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 18:59 


02/04/17
39
amon в сообщении #1431660 писал(а):
LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):
то уровней не будет вообще.
Значит для любого связанного состояния (уровня энергии) в яме должно выполняться $E_n\le U_1$. Нельзя ли отсюда получить условие появления первого уровня?

Кажется понимаю вашу мысль, к сожалению, пока очень отдаленно.
Но ведь $E_n\le U_1$ не является гарантией существования уровня. Есть еще ограничение на минимальную величину потенциала $U_1$, ниже которой уровней не будет. Интуитивно кажется, что условие - это какое-то соотношение потенциалов $U_1$ и $U_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2395
Снаружи ускорителя
LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):
Спасибо. Прошу прощения за глупость, но почему мы имеем право перейти к обычным тригонометрическим функциям?

В случае мнимого аргумента экспоненты применима Формула Эйлера, в результате Вы можете в качестве базиса решений дифура выбирать как комбинацию $A_+ \exp(i x) + A_- \exp(-ix)$, так и $A_c \cos(x) + A_s \sin(x)$..
LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):
И про третье решение, $A_3\exp(-\beta_2(W-x))$ и $A_3\exp(-\beta_2x)$ это же разные решения, почему мы второе можем заменить первым?

$A_3\exp(-\beta_2(W-x)) = \underbrace{A_3 \exp(-\beta_2 W)}_{\tilde{A}_3} \exp( \underbrace{\beta_2}_{-\tilde{\beta}_2}x))$

LifeDeath в сообщении #1431662 писал(а):
Но ведь $E_n\le U_1$ не является гарантией существования уровня.

В смысле? Это же базовое условие существование уровня. Вы его сами озвучили:
LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):
Если $E > U_1$ то уровней не будет вообще.

Его и надо преобразовать в условие связи между параметрами потенциала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
LifeDeath в сообщении #1431662 писал(а):
Интуитивно кажется, что условие - это какое-то соотношение потенциалов $U_1$ и $U_2$
Конечно будет там белка, свисток и соотношение... Какую энергию будет иметь только-только народившийся уровень?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 19:36 


02/04/17
39
amon в сообщении #1431666 писал(а):
LifeDeath в сообщении #1431662 писал(а):
Интуитивно кажется, что условие - это какое-то соотношение потенциалов $U_1$ и $U_2$
Конечно будет там белка, свисток и соотношение... Какую энергию будет иметь только-только народившийся уровень?

В момент появления, уровень будет равен потенциалу $U_1$. Но только $U_1$ изменяется от 0 до $U_2$, а нужно конкретное значение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
LifeDeath в сообщении #1431669 писал(а):
В момент появления, уровень будет равен потенциалу $U_1$
Ну вот, Вы почти все решили. Положение уровней (не обязательно единственного уровня) определяется написанной Вами системой уравнений, а сам появившийся уровень равен $E=U_1$. Остается что-то относительно чего-то решить, и золотой ключик в кармане.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 20:08 


02/04/17
39
amon в сообщении #1431670 писал(а):
LifeDeath в сообщении #1431669 писал(а):
В момент появления, уровень будет равен потенциалу $U_1$
Ну вот, Вы почти все решили. Положение уровней (не обязательно единственного уровня) определяется написанной Вами системой уравнений, а сам появившийся уровень равен $E=U_1$. Остается что-то относительно чего-то решить, и золотой ключик в кармане.


Эх, к сожалению вообще не представляю. Может в исходной системе энергию заменить на низкий потенциал? Но получается громоздкая ерунда:

\begin{equation*}
 \begin{cases}
    A_1  =  A_2  + B_2 
   \\
   \beta_1 A_1  = ikA_2  - ikB_2 
   \\ 
    A_2 e^{ikW} + B_2 e^{-ikW} = A_3 e^{-\beta_2W}
   \\
    ikA_2 e^{ikW} - ikB_2 e^{-ikW} = -\beta_2 A_3 e^{-\beta_2W}
    \end{cases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
 \begin{cases}
    A_1  =  A_2  + B_2 
   \\
   \frac{\sqrt{2m(U_1 - E})}{\hbar} A_1  = i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}A_2  - i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}B_2 
   \\ 
    A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}W} + B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}W} = A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - E})}{\hbar}W}
   \\
    i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}W} - i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}W} = -\frac{\sqrt{2m(U_2 - E})}{\hbar} A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - E})}{\hbar}W}
    \end{cases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
 \begin{cases}
    A_1  =  A_2  + B_2 
   \\
   \frac{\sqrt{2m(U_1 - U_1})}{\hbar} A_1  = i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}A_2  - i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}B_2 
   \\ 
    A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} + B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} = A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar}W}
   \\
    i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} - i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} = -\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar} A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar}W}
    \end{cases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
 \begin{cases}
    A_1  =  A_2  + B_2 
   \\
   0 = i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}(A_2  - B_2) 
   \\ 
    A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} + B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} = A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar}W}
   \\
    i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} - i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} = -\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar} A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar}W}
    \end{cases}
\end{equation*}

-- 23.12.2019, 23:09 --

amon в сообщении #1431670 писал(а):
LifeDeath в сообщении #1431669 писал(а):
В момент появления, уровень будет равен потенциалу $U_1$
Положение уровней (не обязательно единственного уровня) определяется написанной Вами системой уравнений

Не совсем понятно это. Ведь система уравнений просто связывает между совой волновые функции во всех трех областях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11352
Hogtown
madschumacher в сообщении #1431627 писал(а):
Сразу вопрос: а почему первые производные на границах областей приравнивать? Там же разрывный потенциал, следовательно и первые производные будут не непрерывные.

Вторые будут разрывными, но не первые

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 20:18 


02/04/17
39
madschumacher в сообщении #1431664 писал(а):
LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):
И про третье решение, $A_3\exp(-\beta_2(W-x))$ и $A_3\exp(-\beta_2x)$ это же разные решения, почему мы второе можем заменить первым?

$A_3\exp(-\beta_2(W-x)) = \underbrace{A_3 \exp(-\beta_2 W)}_{\tilde{A}_3} \exp( \underbrace{\beta_2}_{-\tilde{\beta}_2}x))$

А почему вы имеете право готовое $A_3 \exp(-\beta_2 W)$решение домножить еще на $\exp(-\beta_2 W)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11352
Hogtown
Навскидку:

У Вас есть 4 амплитуды, и три частоты (вещественных или мнимых), но эти каждая частота выражается через соответствующий потенциал и $E$, а амплитуды удовлетворяют системе однородных уравнений. Избавимся от амплитуд, посчитав определитель системы и приравняв к $0$, и подставив в него выражения для частот, получим уравнение на $E$:
$$
F(E, U_1,U_2)=0.
$$
А чтобы найти критические значения потенциалов (при которых рождаются новые уровни, добавим уравнение
$$
\frac{\partial F}{\partial E}(E, U_1,U_2)=0.
$$
Подумайте, почему так

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
LifeDeath в сообщении #1431677 писал(а):
Ведь система уравнений просто связывает между совой волновые функции во всех трех областях?
У-уу, как все запущено... А Вы задачу об уровнях энергии в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины когда-нибудь решить сами пробовали? Если нет (а на то похоже), то начните с нее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение23.12.2019, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Скажите, а зачем таскать сквозь все преобразования эту кучу размерных констант, когда задача по сути зависит от одного безразмерного параметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение24.12.2019, 02:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
Утундрий в сообщении #1431702 писал(а):
когда задача по сути зависит от одного безразмерного параметра.
Для несимметричного потенциала все-таки от двух.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение24.12.2019, 07:13 
Заслуженный участник


28/12/12
7946
LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):
И про третье решение, $A_3\exp(-\beta_2(W-x))$ и $A_3\exp(-\beta_2x)$ это же разные решения, почему мы второе можем заменить первым?

Вы правы, я напутал со знаком. Нужно $A_3\exp(-\beta_2(x-W))$, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование уровня в асимметричный квантовой яме
Сообщение24.12.2019, 09:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2395
Снаружи ускорителя
Red_Herring в сообщении #1431681 писал(а):
Вторые будут разрывными, но не первые

Да, точно, напутал я все. Спасибо.
LifeDeath в сообщении #1431683 писал(а):
А почему вы имеете право готовое $A_3 \exp(-\beta_2 W)$решение

А в каком месте это готовое решение? Это может быть решением дифура (постоянная интегрирования), но не в Вашем случае.

Из произвольной постоянной можно как из шляпы фокусника доставать какие угодно разрешённые константы, чем Вам и предложили воспользоваться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group