Существование уровня в асимметричный квантовой яме

[amon]

LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):

то уровней не будет вообще.

Значит для любого связанного состояния (уровня энергии) в яме должно выполняться $E_n\le U_1$. Нельзя ли отсюда получить условие появления первого уровня?

[LifeDeath]

amon в сообщении #1431660 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):

то уровней не будет вообще.

Значит для любого связанного состояния (уровня энергии) в яме должно выполняться $E_n\le U_1$. Нельзя ли отсюда получить условие появления первого уровня?

Кажется понимаю вашу мысль, к сожалению, пока очень отдаленно.
Но ведь $E_n\le U_1$ не является гарантией существования уровня. Есть еще ограничение на минимальную величину потенциала $U_1$, ниже которой уровней не будет. Интуитивно кажется, что условие - это какое-то соотношение потенциалов $U_1$ и $U_2$

[madschumacher]

LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):

Спасибо. Прошу прощения за глупость, но почему мы имеем право перейти к обычным тригонометрическим функциям?

В случае мнимого аргумента экспоненты применима Формула Эйлера, в результате Вы можете в качестве базиса решений дифура выбирать как комбинацию $A_+ \exp(i x) + A_- \exp(-ix)$, так и $A_c \cos(x) + A_s \sin(x)$..

LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):

И про третье решение, $A_3\exp(-\beta_2(W-x))$ и $A_3\exp(-\beta_2x)$ это же разные решения, почему мы второе можем заменить первым?

$A_3\exp(-\beta_2(W-x)) = \underbrace{A_3 \exp(-\beta_2 W)}_{\tilde{A}_3} \exp( \underbrace{\beta_2}_{-\tilde{\beta}_2}x))$

LifeDeath в сообщении #1431662 писал(а):

Но ведь $E_n\le U_1$ не является гарантией существования уровня.

В смысле? Это же базовое условие существование уровня. Вы его сами озвучили:

LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):

Если $E > U_1$ то уровней не будет вообще.

Его и надо преобразовать в условие связи между параметрами потенциала.

[amon]

LifeDeath в сообщении #1431662 писал(а):

Интуитивно кажется, что условие - это какое-то соотношение потенциалов $U_1$ и $U_2$

Конечно будет там белка, свисток и соотношение... Какую энергию будет иметь только-только народившийся уровень?

[LifeDeath]

amon в сообщении #1431666 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1431662 писал(а):

Интуитивно кажется, что условие - это какое-то соотношение потенциалов $U_1$ и $U_2$

Конечно будет там белка, свисток и соотношение... Какую энергию будет иметь только-только народившийся уровень?

В момент появления, уровень будет равен потенциалу $U_1$. Но только $U_1$ изменяется от 0 до $U_2$, а нужно конкретное значение...

[amon]

LifeDeath в сообщении #1431669 писал(а):

В момент появления, уровень будет равен потенциалу $U_1$

Ну вот, Вы почти все решили. Положение уровней (не обязательно единственного уровня) определяется написанной Вами системой уравнений, а сам появившийся уровень равен $E=U_1$. Остается что-то относительно чего-то решить, и золотой ключик в кармане.

[LifeDeath]

amon в сообщении #1431670 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1431669 писал(а):

В момент появления, уровень будет равен потенциалу $U_1$

Ну вот, Вы почти все решили. Положение уровней (не обязательно единственного уровня) определяется написанной Вами системой уравнений, а сам появившийся уровень равен $E=U_1$. Остается что-то относительно чего-то решить, и золотой ключик в кармане.

Эх, к сожалению вообще не представляю. Может в исходной системе энергию заменить на низкий потенциал? Но получается громоздкая ерунда:

\begin{equation*} \begin{cases} A_1 = A_2 + B_2 \\ \beta_1 A_1 = ikA_2 - ikB_2 \\ A_2 e^{ikW} + B_2 e^{-ikW} = A_3 e^{-\beta_2W} \\ ikA_2 e^{ikW} - ikB_2 e^{-ikW} = -\beta_2 A_3 e^{-\beta_2W} \end{cases} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{cases} A_1 = A_2 + B_2 \\ \frac{\sqrt{2m(U_1 - E})}{\hbar} A_1 = i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}A_2 - i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}B_2 \\ A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}W} + B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}W} = A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - E})}{\hbar}W} \\ i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}W} - i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}W} = -\frac{\sqrt{2m(U_2 - E})}{\hbar} A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - E})}{\hbar}W} \end{cases} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{cases} A_1 = A_2 + B_2 \\ \frac{\sqrt{2m(U_1 - U_1})}{\hbar} A_1 = i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}A_2 - i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}B_2 \\ A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} + B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} = A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar}W} \\ i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} - i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} = -\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar} A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar}W} \end{cases} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{cases} A_1 = A_2 + B_2 \\ 0 = i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}(A_2 - B_2) \\ A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} + B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} = A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar}W} \\ i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}A_2 e^{i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} - i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}B_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}W} = -\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar} A_3 e^{-\frac{\sqrt{2m(U_2 - U_1})}{\hbar}W} \end{cases} \end{equation*}

-- 23.12.2019, 23:09 --

amon в сообщении #1431670 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1431669 писал(а):

В момент появления, уровень будет равен потенциалу $U_1$

Положение уровней (не обязательно единственного уровня) определяется написанной Вами системой уравнений

Не совсем понятно это. Ведь система уравнений просто связывает между совой волновые функции во всех трех областях?

[Red_Herring]

madschumacher в сообщении #1431627 писал(а):

Сразу вопрос: а почему первые производные на границах областей приравнивать? Там же разрывный потенциал, следовательно и первые производные будут не непрерывные.

Вторые будут разрывными, но не первые

[LifeDeath]

madschumacher в сообщении #1431664 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):

И про третье решение, $A_3\exp(-\beta_2(W-x))$ и $A_3\exp(-\beta_2x)$ это же разные решения, почему мы второе можем заменить первым?

$A_3\exp(-\beta_2(W-x)) = \underbrace{A_3 \exp(-\beta_2 W)}_{\tilde{A}_3} \exp( \underbrace{\beta_2}_{-\tilde{\beta}_2}x))$

А почему вы имеете право готовое $A_3 \exp(-\beta_2 W)$решение домножить еще на $\exp(-\beta_2 W)$?

[Red_Herring]

Навскидку:

У Вас есть 4 амплитуды, и три частоты (вещественных или мнимых), но эти каждая частота выражается через соответствующий потенциал и $E$, а амплитуды удовлетворяют системе однородных уравнений. Избавимся от амплитуд, посчитав определитель системы и приравняв к $0$, и подставив в него выражения для частот, получим уравнение на $E$:

$$ F(E, U_1,U_2)=0. $$

А чтобы найти критические значения потенциалов (при которых рождаются новые уровни, добавим уравнение

$$ \frac{\partial F}{\partial E}(E, U_1,U_2)=0. $$

Подумайте, почему так

[amon]

LifeDeath в сообщении #1431677 писал(а):

Ведь система уравнений просто связывает между совой волновые функции во всех трех областях?

У-уу, как все запущено... А Вы задачу об уровнях энергии в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины когда-нибудь решить сами пробовали? Если нет (а на то похоже), то начните с нее.

[Утундрий]

Скажите, а зачем таскать сквозь все преобразования эту кучу размерных констант, когда задача по сути зависит от одного безразмерного параметра.

[amon]

Утундрий в сообщении #1431702 писал(а):

когда задача по сути зависит от одного безразмерного параметра.

Для несимметричного потенциала все-таки от двух.

[DimaM]

LifeDeath в сообщении #1431658 писал(а):

И про третье решение, $A_3\exp(-\beta_2(W-x))$ и $A_3\exp(-\beta_2x)$ это же разные решения, почему мы второе можем заменить первым?

Вы правы, я напутал со знаком. Нужно $A_3\exp(-\beta_2(x-W))$, конечно.

[madschumacher]

Red_Herring в сообщении #1431681 писал(а):

Вторые будут разрывными, но не первые

Да, точно, напутал я все. Спасибо.

LifeDeath в сообщении #1431683 писал(а):

А почему вы имеете право готовое $A_3 \exp(-\beta_2 W)$решение

А в каком месте это готовое решение? Это может быть решением дифура (постоянная интегрирования), но не в Вашем случае.

Из произвольной постоянной можно как из шляпы фокусника доставать какие угодно разрешённые константы, чем Вам и предложили воспользоваться.