Несепарабельные метрические пространства

[Lister]

Здравствуйте. В большинстве литературных источников при введении понятия сепарабельного метрического пространства приводятся примеры, собственно, сепарабельных пространств, а что касается несепарабельных - удалось найти доказательство несепарабельности лишь для пространства ограниченных последовательностей $l_{\infty}$. Возник вопрос - если рассмотреть, например, метрическое пространство $L_{\infty}[a,b]$ заданных на отрезке $[a,b]$ измеримых (по Лебегу) функций, для которых $|f|$ имеет на данном отрезке конечный существенный максимум (где под существенным максимумом функции $f$ понимается выражение $ess$ $\sup f(x) = \inf\{c: |E[f>c]| = 0\}$) c метрикой $\rho (f,g) = ||f-g||_{L_{\infty}_[a,b]}$; $||f||_{L_{\infty}_[a,b]} = $ $ess$ $\sup |f(x)|$ (везде здесь $x\in [a,b]$), то данное метрическое пространство не будет сепарабельным, но как это доказать? Судя по тому, что для доказательства несепарабельности вышеупомянутого $l_{\infty}$ использовался прием построения двоичных последовательностей, мне кажется, что здесь все не так просто, и нужен какой-то достаточно специфический подход - с ходу и не сообразить! Буду благодарен за любые идеи и подсказки.

[Gafield]

Достаточно рассмотреть семейство характеристических функций $\chi_a$ множеств $x\ge a$. Оно не сепарабельно, поскольку при $a\ne b$ рассояние между $\chi_a$ и $\chi_b$ равно единице. Далее рассуждения такие же, как для пространств Гельдера, см. http://dxdy.ru/topic13998.html

[Lister]

Gafield, благодарю! То есть, насколько я понимаю, схема доказательства примерная такая:
Рассмотрим семейство характеристических функций $\chi_a$ множеств $x\ge a$: $\chi_a(x) = 1$, если $x\ge a$, и нулю - в случае $x<a$ (прощу прощения за cтоль убогую запись - возникли некоторые трудности при записи данного утверждения в виде системы). При $\alpha\neq \gamma$ расстояние между двумя любыми функциями $\chi_{\alpha}$ и $\chi_{\gamma}$ в метрике рассматриваемого пространства равно единице: $\rho (\chi_{\alpha},\chi_{\gamma}) = ||\chi_{\alpha}-\chi_{\gamma}||_{L_{\infty}_[a,b]} =1$ при условии $\alpha\neq \gamma$, $\alpha, \gamma \in [a,b]$. Т.к. взаимные расстояния между любыми двумя различными элементами семейства $\chi_{\alpha}$ равны единице, значит, приблизить сколь угодно точно каждую из этих точек элементами счетного множества нельзя, поскольку множество шаров с центрами в точках множества $\chi_{\alpha}$ и радиуса $\frac 1 3$ является множеством мощности континуума и эти шары не пересекаются. Т.к. семейство $\chi_{\alpha} \subset L_{{\infty}[a,b]}$ при $\alpha \in [a,b]$, то исходное пространство не является сепарабельным.
Верно?

[ewert]

Если по "гамбургергскому счёту", то вообще-то следовало бы задействовать такую принципиальную теорему (не то чтоб сложную, но и не вполне тривиальную):

Сепарабельность -- характеристика монотонная. В смысле: если метрическое пространство сепарабельно, то и любое его подмножество -- тоже.

А тогда достаточно найти в $L_{\infty}$ подмножество, изоморфное $l_{\infty}$. А это уже тривиально: достаточно разбить отрезок на счётное количество непересекающихся отрезков и рассмотреть все соответствующие "простые" функции (т.е. "ступенчатые" на этих отрезках).

[Lister]

ewert, благодарю, но, к сожалению, теоремы такой у нас в курсе пока что не было, поэтому применять ее я пока что не рискну - еще неизвестно, что легче - решение задачи предложенным Gafield'ом методом, или Ваше решение в совокупности с доказательством теоремы . В любом случае второй вариант решения - это замечательно; расширение кругозора, думаю, пойдет на пользу! А что все-таки по поводу моего варианта док-ва - можно признать его право на существование?

[zoo]

кстати хорошая задача: доказать теорему сформулированную ewert'ом

[Gafield]

Lister в сообщении #143156 писал(а):

Рассмотрим семейство характеристических функций множеств : , если , и нулю - в случае (прощу прощения за cтоль убогую запись - возникли некоторые трудности при записи данного утверждения в виде системы). При расстояние между двумя любыми функциями и в метрике рассматриваемого пространства равно единице: при условии , . Т.к. взаимные расстояния между любыми двумя различными элементами семейства равны единице, значит, приблизить сколь угодно точно каждую из этих точек элементами счетного множества нельзя, поскольку множество шаров с центрами в точках множества и радиуса является множеством мощности континуума и эти шары не пересекаются. Т.к. семейство при , то исходное пространство не является сепарабельным.
Верно?

Да

[Lister]

Еще раз спасибо всем за помощь.