сепарабельны ли пространства Гёльдера?

[nckg]

Cепарабельны ли пространства Гёльдера $C^\alpha[a,b]$ и $C^{n+\alpha}[a,b]$, $n\in\mathbb N$, $0<\alpha<1$?

[Gafield]

Для $0<\alpha<1$ видел задачу вроде: доказать, что множество функций $f_a(x)=|x-a|^\alpha$, $x\in [0,1]$, $a\in [0,1]$, несепарабельно.

[nckg]

Спасибо за пример! Похоже на правду, т.к. при $a\ne b$

$$\|f_a-f_b\|_{C^\alpha[0,1]}\geqslant 1$$

, а дальше по аналогии с несепарабельностью пространства ограниченных последовательностей --- каждую $f_a$ окружаем шаром радиуса $1/3$; эти шары не пересекаются (благодаря приведённому неравенству) и образуют несчётное множество. Поэтому будь пространство сепарабельным, мы получили бы противоречие, т.к. в каждом из этих шаров должно находится по элементу счётного множества.

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

Думаю, что вопрос о сепарабельности $C^{n+\alpha}[a,b]$ нужно свести к вопросу о сепарабельности $C^\alpha[a,b]$

[Gafield]

Может, рассмотреть функции $|x-a|^{n+\alpha}$? Тогда в норму будут входить производные порядка $n$, и все аналогично.

[nckg]

Согласен, производные ничего не портят т.к.

$$\|f_a-f_b\|_{C^{n+\alpha}[0,1]}\geqslant \|f_a^{(n)}-f_b^{(n)}\|_{C^\alpha[0,1]}$$

и Ваш 2-й пример, думаю, подойдёт. То есть вопрос решён.