Я решил рассмотреть гипотезу Коллатца в 6-тизначной системе счисления.
В этой системе четные числа заканчиваются на 0, 2, 4.
Нечетные числа заканчиваются на 1, 3, 5.
Допустим существует первое число, опровергающее гипотезу Коллатца. Назовем его

.
Очевидно, что

- нечетное число. Посмотрим, что произойдет с последним разрядом этого числа при применении правила

:
Если

заканчивается на 1 (число вида

), то

будет заканчиваться на 4.
Если

заканчивается на 3 (число вида

), то

будет заканчиваться на 4.
Если

заканчивается на 5 (число вида

), то

будет заканчиваться на 4.
Числа заканчивающиеся на 4 после деления дают числа заканчивающиеся на 2 и 5.
Числа заканчивающиеся на 2 после деления дают числа заканчивающиеся на 1, 4 и 5.
Переходы значений последних разрядов показаны на схеме (по ссылке png картинка, красные стрелки - увеличение числа, синие - деление):
https://drive.google.com/file/d/1gRw9n_0atN4g0Ac81Ao1vAHk8gZPEdPyИсходя из этой схемы сразу можно сделать несколько очевидных предположений:
1. Чисел заканчивающихся на 0 нет вообще, а число заканчивающееся на 3 может быть максимум одно (первое в последовательности).
2. Чисел заканчивающихся на 4 больше всего и их количество равно сумме чисел заканчивающихся на 5 и 2 (потому что все "четверки" разваливаваюся на "пятерки" и "двойки").
3. Чисел заканчивающихся на 1 меньше всего (поскольку к "единицам" приводят только некоторые из двух последовательных делений).
Осталось только доказать, что единственный замкнутый цикл, который приводит к увеличению ("пятерка" - "четверка" - "пятерка" - "четверка" -"пятерка" - и т.д.) не может быть бесконечным.
