Задача по теории колебаний

[Dr Blue]

Условие: на сколько процентов отличается частота $\omega$ свободных колебаний с добротностью $Q$ от собственной частоты $\omega_0$ колебаний этого контура?

Ответ задачи: $\eta=\frac{1}{8Q^2}$

Собственное отклонение определяется, как:
$\eta=\frac{\omega_0-\omega_1}{\omega_0}$

$\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-b^2}$, $b=\frac{R}{2L}$

Формула для добротности:
$Q=\frac{\omega_1}{2b}$

Как прийти к ответу не понимаю. Как найти $\omega_0$ для дальнейших вычислений?

[Pphantom]

А зачем вам именно $\omega_0$, если найти нужно лишь значение выражения, в которое эта величина входит?

А так... выразите из связи между $\omega_0$ и $\omega_1$ величину $b$ и посмотрите на получившееся. Можно еще подумать о том, какой вообще может быть добротность $Q$.

[rascas]

Dr Blue в сообщении #1430689 писал(а):

Как прийти к ответу

Для получения ответа по формуле: $\eta=\frac{\omega_0-\omega_1}{\omega_0}$, вам не хватает: $(\omega_0-\omega_1)$ .
Ну так и получите $(\omega_0-\omega_1)$ из формулы: $\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-b^2}$ , учитывая, что возможно допустить: $\omega_0+\omega_1 \simeq 2 \omega_1$ .

Dr Blue в сообщении #1430689 писал(а):

Как найти $\omega_0$ для дальнейших вычислений?

В случае высокой добротности колебательного контура $\omega_0$ мало отличается от $\omega_1$ .

[Dr Blue]

rascas в сообщении #1430744 писал(а):

Для получения ответа по формуле: $\eta=\frac{\omega_0-\omega_1}{\omega_0}$, вам не хватает: $(\omega_0-\omega_1)$ .
Ну так и получите $(\omega_0-\omega_1)$ из формулы: $\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-b^2}$ , учитывая, что возможно допустить: $\omega_0+\omega_1 \simeq 2 \omega_1$ .

Я сделал следующим образом:
$\eta=\frac{\omega_0-\omega_1}{\omega_0}$

$\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-b^2}$

$Q=\frac{\omega_1}{2b}$, выразим $b$, получим:
$b=\frac{\omega_1}{2Q}$

Подставляя в $\omega_1$ получаем уравнение:
$\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-\frac{\omega_1^2}{4Q^2}$

И слева, и справа присутствует $\omega_1$. Как выразить из последнего уравнения $\omega_1$ через $\omega_0^2$?

-- 18.12.2019, 21:51 --

Dr Blue в сообщении #1430845 писал(а):

И слева, и справа присутствует $\omega_1$. Как выразить из последнего уравнения $\omega_1$ через $\omega_0^2$?

Выразил
$\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-\frac{\omega_1^2}{4Q}}$
$\omega_1^2=\omega_0^2-\frac{\omega_1^2}{4Q}$
$\omega_1^2+\frac{\omega_1^2}{4Q^2}=\omega_0^2$
$\omega_1^2+\omega_1^2$( $\frac{1}{4Q^2} )=\omega_0^2$
$\omega_1^2 ( 1+\frac{1}{4Q^2} )=\omega_0^2 $

$\omega_1^2=\frac{\omega_0^2}{1+\frac{1}{4Q^2}}$

[Dr Blue]

Дальше сделал:
$\omega_1=\omega_0\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{4Q^2}}}$
$\omega_1=\omega_0\sqrt{\frac{4Q^2}{4Q^2+1}}$
$\omega_1=\omega_0\frac{2Q}{\sqrt{4Q^2+1}}$

Следовательно, если подставить в формулу $\eta=1-\frac{\omega_0\frac{2Q}{\sqrt{4Q^2+1}}}{\omega_0}$
Получим следующее:
$\eta=1-\frac{2Q}{\sqrt{4Q^2+1}}$

Как отсюда получить $\eta=\frac{1}{8Q^2}$
Понимаю, что это не должно уже составить труда, но не доходит просто уже.

[EUgeneUS]

Dr Blue в сообщении #1430867 писал(а):

Понимаю, что это не должно уже составить труда, но не доходит просто уже.

Да, труда не составит. Но уже нужно понять, что пора перейти от точных равенств к примерным. Кстати, это рекомендовали сделать раньше (см. выше).

Хотя в условиях явно не сказано, но видимо нужно считать, что контур с хорошей добротностью: $Q^2 >> 1$.
Можно записать так: $\varepsilon = \frac{1}{Q^2} << 1$

Далее, если делать в лоб, разложить получившееся выражение в ряд Тейлора по $\varepsilon$ и оставить первый ненулевой член.

[Dr Blue]

EUgeneUS в сообщении #1430868 писал(а):

Далее, если делать в лоб, разложить получившееся выражение в ряд Тейлора по $\varepsilon$ и оставить первый ненулевой член.

Не поможете?) Не понимаю, как..

[rascas]

Dr Blue в сообщении #1430870 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1430868 писал(а):

Далее, если делать в лоб, разложить получившееся выражение в ряд Тейлора по $\varepsilon$ и оставить первый ненулевой член.

Не поможете?) Не понимаю, как..

Dr Blue в сообщении #1430867 писал(а):

Получим следующее:
$\eta=1-\frac{2Q}{\sqrt{4Q^2+1}}$
Как отсюда получить $\eta=\frac{1}{8Q^2}$

Предлагаю следующий способ получение приближённого значения относительной разности частот $\eta$.
$\eta=1-\frac{2Q}{\sqrt{4Q^2+1}} = 1-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}} $
обозначим $x=\frac{1}{2Q}$

Считаем, что добротность колебательного контура $Q$ велика, значит $x$ мало.

Требуется разложить функцию: $\eta=1-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ в ряд Маклорена и взять первый ненулевой член ряда. Это и будет требуемый ответ.
Приближённое значение $\eta=\frac{1}{8Q^2}$ , тем ближе к точному $\eta= 1-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}} $ , чем выше добротность (отброшены высшие порядки малости).

[EUgeneUS]

Dr Blue
Если Вы сделаете " в лоб" - выше уважаемый rascas написал Вам пошаговую инструкцию, то я покажу, как такое решается устно и моментально.

[Dr Blue]

EUgeneUS в сообщении #1430915 писал(а):

Если Вы сделаете " в лоб" - выше уважаемый rascas написал Вам пошаговую инструкцию, то я покажу, как такое решается устно и моментально.

Разложил, все получилось) Благодарю за помощь)))