Множество всех частичных функций

[Someone]

mihaild в сообщении #1430225 писал(а):

я не знаю, как это доказывается

Построением модели, в которой одна аксиома выполняется, а другая — нет.

[Sdy]

mihaild в сообщении #1430225 писал(а):

Если то, что из аксиомы парного объединения не выводится общая аксиома объединения - то нет, не так (и я не знаю, как это доказывается, и даже верно ли это вообще).

Да, это пытался "доказать". Теперь понятно, почему в учебниках по теории вероятностей и меры подчёркивают, что между алгеброй и сигма-алгеброй разница огромная, но при этом не объясняют, почему нельзя из аддитивной алгебры вывести сигма-аддитивную.

mihaild в сообщении #1430225 писал(а):

Рассуждение с объединением по индукции счетного семейства множеств доказывает $\forall n \exists X \forall m < n: Y_m \subseteq X$. А нужно нам $\exists X \forall n \forall m < n: Y_m \susbseteq X$

Формально вроде бы понятно, но интуитивно как-то все равно неуютно.

Спасибо за помощь.

[mihaild]

Sdy в сообщении #1430501 писал(а):

почему нельзя из аддитивной алгебры вывести сигма-аддитивную

Может быть меры, а не алгебры? В любом случае, это про другое.
Существуют алгебры, не являющиеся сигма-алгебрами (например, алгебра конечных и коконечных подмножеств бесконечного множества).
Если у нас есть сигма-аддитивная мера на кольце, то её можно продолжить до сигма-аддитивной меры на сигма-кольце, порожденном этим кольцом - теорема Каратеодори.

[Sdy]

mihaild, спасибо за ответ.
Извиняюсь, что употребил неверную терминологию.
Я имел в виду следующее пусть $\Omega$ - множество, алгебру подмножеств которого мы строим.
Тогда алгеброй подмножеств $g$ называется такая совокупность множеств, для которой выполнены следующие требования:
1.$\Omega \in g$.
2.$C \in g \Rightarrow \Omega\setminus C \in g$.
3.$C_1,...,C_n \in g \Rightarrow \bigcup\limits_{i=1}^{n}C_i \in g$.

И следующее определение. Совокупность $F$ подмножеств $\Omega$ называется сигма-алгеброй, если $F$ - алгебра, для которой верно следующее свойство.
3'.$C_i \in F \forall i \geqslant 1 \Rightarrow \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}C_i \in F$.

Вот мне тут тоже не очень ясно было, почему из 3 не следует 3'. (А это вроде как тоже самое, о чем мы и вели речь говоря про аксиому парного объединения и общего) Сейчас хотя бы формально это ясно.