Потенциал заряженной прямой

[Утундрий]

realeugene в сообщении #1430425 писал(а):

Физические соображения. Если, вообще, эта задача имеет осмысленное решение, то существует конечный потенциал...

...который невозможно никак измерить. Физически естественней требовать конечности напряжённости.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1430427 писал(а):

Физически естественней требовать конечности напряжённости.

Так интеграл для напряженности от полубесконечной нити конечен (только не на самой нити) и в бесконечности нулевой. Но интеграл от этой напряженности в бесконечности расходится логарифмически. Поэтому про потенциал можно постулировать, что потенциал некоторой точки $\varphi(R, 0) = 0$, и искать в достаточно большой конечной области потенциал в точке $(r, z)$ в виде $\varphi(r, z) = \varphi(r, z) - \varphi(R, 0)$.

[Утундрий]

realeugene в сообщении #1430437 писал(а):

Поэтому про потенциал можно постулировать, что потенциал некоторой точки $\varphi(R, 0) = 0$

А можно этого и не делать. Всё равно нам интересны только разности потенциалов в двух точках.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1430480 писал(а):

Всё равно нам интересны только разности потенциалов в двух точках.

Совершенно верно. Нас интересует $\varphi(r_1, z_1) - \varphi(r_2, z_2)$. Если эти потенциалы посчитаны математически корректно относительно одного референса, эта разность корректна. Но откуда следует, что эта разность корректна, если из обеих частей разности была выкинута бесконечность?

Иными словами, откуда следует, что $\frac{\partial\infty}{\partial z} = 0$?

[Утундрий]

Во всяком случае не из процедуры "отбрасывания", вашей в том числе. Корректность решения некорректной задачи устанавливается постфактум.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1430521 писал(а):

Во всяком случае не из процедуры "отбрасывания", вашей в том числе.

Из моей процедуры, как раз, следует формальная корректность получаемой разности. И что минус градиент получаемого потенциала будет равен напряженности поля, которую можно посчитать и непосредственно. Потому что нигде нет выхода за область сходимости интегралов. А при вашей регуляризации она есть, и, действительно, требует установления постфактум корректности, например, через оценку модуля разности этих выкидываемых бесконечностей. Возможно, это и проще, не знаю заранее. Или же, посчитать производную по $z$ и сравнить с посчитанной отдельно напряженностью.

[Утундрий]

realeugene в сообщении #1430523 писал(а):

Из моей процедуры, как раз, следует формальная корректность получаемой разности.

Разве что формальная.

realeugene в сообщении #1430523 писал(а):

И что минус градиент получаемого потенциала будет равен напряженности поля, которую можно посчитать и непосредственно.

При простом отбрасывания получается ровно то же самое.

realeugene в сообщении #1430523 писал(а):

посчитать производную по $z$ и сравнить с посчитанной отдельно напряженностью.

Тогда уж проще сразу посчитать напряжённость, а потенциал получить формальный интегрированием.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1430531 писал(а):

Разве что формальная.

Почему "разве что"? Формальная корректность гарантирует, что минус градиент потенциала равен посчитанной другим путём напряженности.

Утундрий в сообщении #1430531 писал(а):

При простом отбрасывания получается ровно то же самое.

Хотелось бы увидеть доказательство этого утверждения.

Утундрий в сообщении #1430531 писал(а):

Тогда уж проще сразу посчитать напряжённость, а потенциал получить формальный интегрированием.

Не факт, что проинтегрировать трёхмерную напряженность проще, чем проинтегрировать и сравнить одну координату вектора напряженности. Пусть мы и знаем, что напряженность потенциально.

[Утундрий]

realeugene в сообщении #1430537 писал(а):

Почему "разве что"? Формальная корректность гарантирует, что минус градиент потенциала равен посчитанной другим путём напряженности.

Потому что никакой гарантии эта процедура не даёт и все бонусы здесь случайны. Таково моё мнение.

realeugene в сообщении #1430537 писал(а):

Хотелось бы увидеть доказательство этого утверждения.

Очень хочется верить, что вы шутите или хотя бы издеваетесь.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1430550 писал(а):

Потому что никакой гарантии эта процедура не даёт и все бонусы здесь случайны. Таково моё мнение.

Ну а свойства несобственных интегралов, изучаемые в курсе матанализа, говорят о том, что эта процедура гарантии даёт. Потому что в процедуре вычисляется разность сходящихся несобственных интегралов, и была в матане такая теорема про них.

Утундрий в сообщении #1430550 писал(а):

Очень хочется верить, что вы шутите или хотя бы издеваетесь.

Я совершенно серьёзен. Так как теоремы из матанализа для разности расходящихся интегралов неприменимы, ваше утверждение про сходимость интеграла разности к декларируемой вами разности интегралов с выкинутыми бесконечностями нужно доказывать. IMHO.

[Утундрий]

Если уж так серьёзно подходить, то с точки зрения математики поставленная задача решения не имеет.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1430556 писал(а):

Если уж так серьёзно подходить, то с точки зрения математики поставленная задача решения не имеет.

Почему это? Корректно определённая функция потенциала как интеграл по нити есть в любой сколь угодно большой области пространства минус сама нить. Определённая с точностью до произвольной константы.

Хотя вру. Существует функция потенциала, градиент которой равен минус напряженности поля. А интегралы для напряженности поля по нити сходятся.

Соответственно, так как ротор напряженности всё ещё равен нулю, то по какой-то теореме векторного исчисления не помню откуда в любой области пространства существует поле потенциала, минус градиент которого равен нашей напряженности, и которое определено с точностью до константы.