Потенциал заряженной прямой

[follow_the_sun]

Здравствуйте, надо найти потенциал равномерно-заряженной прямой $z\in [0;\infty) $ c плотностью зарядов $q$. По определению скалярный потенциал:

$$u(M)=\int\limits_{\Omega}\dfrac{\rho(M)}{r_{PM}}dr$$

Как мне кажется, $r_{PM}$ можно выразить формулой:

$$r(z)_{PM}=\sqrt{(x^2+y^2)+(z-z_M)^2}$$

Если подставить в интеграл, то получается
$u(M)=\int\limits_{z=0}^{z=\infty}\dfrac{d(\sqrt{(x^2+y^2)+(z-z_M)^2})}{\sqrt{(x^2+y^2)+(z-z_M)^2}}=\int\limits_{z=0}^{z=\infty}\dfrac{(z-z_M)dz}{(x^2+y^2)+(z-z_M)^2}$
Не совсем понимаю, как прийти отсюда к ответу
$U(M)=q \ln(\dfrac{1}{\sqrt{r^2+z^2}-z})$

[warlock66613]

follow_the_sun, что-то у вас всё перепуталось. Определитесь, что у вас есть $M$ и что есть $P$, какой в формуле интеграл (по прямой или по объёму, если по объёму, что за $dr$ в нём?), что именно вы обозначили $x, y, z$ и что $z_M$.

[Pphantom]

follow_the_sun в сообщении #1430285 писал(а):

равномерно-заряженной прямой $z\in [0;\infty) $

И заодно определитесь с тем, луч у вас заряжен или прямая. Это все-таки не одно и то же.

[follow_the_sun]

warlock66613
$M$ - точка, в которой находим потенциал
Интеграл по прямой
$dr$ - приращение расстояния на прямой
$P$ -точка на прямой
$x,y,z_M$ - координаты точки $M$

-- 15.12.2019, 14:14 --

Pphantom
луч, пардон

[warlock66613]

follow_the_sun в сообщении #1430299 писал(а):

$M$ - точка, в которой находим потенциал

Тогда что такое $\rho(M)$?

follow_the_sun в сообщении #1430299 писал(а):

$dr$ - приращение расстояния на прямой

Тогда почему вы считаете, что $r = r_{MP}$?

[follow_the_sun]

warlock66613
Я беру формулы из методички. Видимо там опечатка, подразумевается $\rho(P)$

-- 15.12.2019, 15:24 --

warlock66613
не знаю, там просто вводится формула для потенциала

$$u(M)=\int\limits_{\Omega}\dfrac{\rho(M)}{r_{PM}}dr$$

и не поясняются обозначения

[Pphantom]

follow_the_sun в сообщении #1430310 писал(а):

не знаю, там просто вводится формула для потенциала

$$u(M)=\int\limits_{\Omega}\dfrac{\rho(M)}{r_{PM}}dr$$

и не поясняются обозначения

Ну вы же физику хотя бы в объеме школьной программы знаете, стало быть, можете подумать, что тут должно было оказаться.

[follow_the_sun]

Pphantom
как я понимаю $P$ - точка на луче, $\rho(P)$ - плотность заряда в точке $P$, $M$ - точка в которой ищем потенциал, $r_{PM}$ - расстояние между точками $P$ и $M$, $dr$ - малое изменение расстояния между точками $P$ и $M$.
Я раньше писал, что $dr$ - малое изменение расстояние на прямой, но это чушь.

[realeugene]

follow_the_sun в сообщении #1430315 писал(а):

$\rho(P)$ - плотность заряда в точке $P$

А напишите-ка единицы измерения этой величины.

[follow_the_sun]

realeugene
Это зависит от задачи, в данном случае Кулон/метр.

[realeugene]

(Оффтоп)

follow_the_sun в сообщении #1430310 писал(а):

Я беру формулы из методички.

Это не аргумент. Если вы не понимаете смысл исходных формул, к интегрированию переходить нельзя.

[warlock66613]

follow_the_sun в сообщении #1430310 писал(а):

Видимо там опечатка, подразумевается $\rho(P)$

Правильно.

follow_the_sun в сообщении #1430315 писал(а):

Я раньше писал, что $dr$ - малое изменение расстояние на прямой, но это чушь

Нет, это как раз почти правильно. $dr$ - это элемент интегрирования вдоль прямой, бесконечный малый элемент этой прямой.

[follow_the_sun]

warlock66613
Я понял, мы полагаем что $dq=\rho dr$ и интегрируем по всей прямой:

$$u(M)=\int\limits_{\Omega}\dfrac{dq}{r_{PM}}$$

-- 15.12.2019, 16:10 --

Об этом и хотел написать уважаемыйrealeugene

[svv]

Только раз у нас уже есть обозначение $r_{PM}$, и мы выяснили, что $dr$ — не его дифференциал, это $dr$ лучше заменить на другое обозначение, например, $d\ell$.

[follow_the_sun]

И в итоге надо найти?
$u(M)=\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{qdl}{\sqrt{(z-l)^2+r^2}}$