2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 16:02 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Три одинаковые массы находятся в вершинах жёсткого треугольника с невесомыми сторонами.
Относительно осей, проходящих через вершины $A, B,C$ перпендикулярно плоскости треугольника,
его моменты инерции равны соответственно $I_A, I_B, I_C$.
Найти минимум момента инерции треугольника относительно оси, перпендикулярной его плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 16:36 
Аватара пользователя


27/02/12
3707

(Оффтоп)

Вроде бы

$ \displaystyle \frac{I_A+I_B+I_C}{6}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 19:24 
Аватара пользователя


27/02/12
3707

(Оффтоп)

Хм...
Oleg Zubelevich :roll: pogulyat_vyshel около получаса назад написал пост,
который потом почему-то удалил. Непонятно...
Не цитирую, но по памяти - найти сумму квадратов расстояний от вершин до точки пересечения медиан.
А разве не так? - момент инерции минимален относительно оси, проходящей через центр масс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 19:40 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Мистика.. Я давно не был в dxdy. Это вот для себя вывел вчера вечером(!). Сёдни проверил - и сюда.
Кстати, ответ такой же. Мне показалось красиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
miflin в сообщении #1428184 писал(а):
А разве не так? - момент инерции минимален относительно оси, проходящей через центр масс?
Откуда сомнения? Теорема Гюйгенса-Штейнера же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 19:51 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Точка пересечения медиан является барицентром как для плоского треугольника, так и для системы из трех одинаковых масс в вершинах. Что само по себе удивительно.
Возможно, были сомнения во втором....

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 20:10 
Аватара пользователя


27/02/12
3707
Утундрий в сообщении #1428188 писал(а):
Откуда сомнения?

Дык никаких сомнений.
Меня просто удивило, что pogulyat_vyshel, высказав правильную мысль, удалил свой пост, который Вы, возможно, не успели увидеть...

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 20:22 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Я в тупой растерянности. Было так, как написал выше. Нет, ничего не знал о посте pogulat vyshel.
Кстати, сначала поместил, в чуть более простом виде, на форуме в profy.ru (ваш репетитор). В разделе "свободное творчество" (название не моё). Но там как-то пока глухо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 20:46 
Аватара пользователя


27/02/12
3707
Как я решал задачу.
Лет 20-30 назад я вывел и "зарубил себе на носу" :D ,
что момент инерции минимален относительно оси (из множества параллельных осей), проходящей через центр масс тела.
Из этого и исходил. Осталось нагуглить формулу для расстояния от вершины треугольника до точки пересечения медиан. :D
И pogulyat_vyshel, как я понял, намекал на это же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 21:28 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Не, я не так. Чукча же не читатель, чукча - писатель. Принял стороны треугольника за векторы, так что $\mathbf c=\mathbf a-\mathbf b$. Дальше не особо сложная алгебра векторов - и готов главный результат$$3I_0=m (a^2+b^2+c^2)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 21:35 
Аватара пользователя


27/02/12
3707
miflin в сообщении #1428199 писал(а):
Из этого и исходил. Осталось нагуглить формулу для расстояния от вершины треугольника до точки пересечения медиан. :D
И pogulyat_vyshel, как я понял, намекал на это же.

А теперь, немного придя в себя, понял, что нужно ещё доказать, что центр масс треугольника с тремя точечными
массами в вершинах также находится в точке пересечения медиан, как и в треугольнике с равномерным распределением
плотности по всей площади. Возможно по этой причине pogulyat_vyshel и удалил свой пост? :roll:
Но ответы совпали... :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 21:57 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Доказывается элементарно. Кладём этот треугольник на лезвие прямого ножа, чтобы оно совпало с одной из медиан; представили? - треугольник будет в равновесии. Причём и тот, и другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение29.11.2019, 22:10 
Аватара пользователя


27/02/12
3707
Действительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник.
Сообщение12.12.2019, 14:13 
Аватара пользователя


31/08/17
2116

(Оффтоп)

Оказывается ,разжечь флейм можно не только написав пост, но и удалив его.


Задача 2: в условиях задачи стартового поста найти главные центральные оси инерции треугольника

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group