Треугольник.

[dovlato]

Три одинаковые массы находятся в вершинах жёсткого треугольника с невесомыми сторонами.
Относительно осей, проходящих через вершины $A, B,C$ перпендикулярно плоскости треугольника,
его моменты инерции равны соответственно $I_A, I_B, I_C$.
Найти минимум момента инерции треугольника относительно оси, перпендикулярной его плоскости.

[miflin]

(Оффтоп)

Вроде бы

$ \displaystyle \frac{I_A+I_B+I_C}{6}$

[miflin]

(Оффтоп)

Хм...
Oleg Zubelevich pogulyat_vyshel около получаса назад написал пост,
который потом почему-то удалил. Непонятно...
Не цитирую, но по памяти - найти сумму квадратов расстояний от вершин до точки пересечения медиан.
А разве не так? - момент инерции минимален относительно оси, проходящей через центр масс.

[dovlato]

Мистика.. Я давно не был в dxdy. Это вот для себя вывел вчера вечером(!). Сёдни проверил - и сюда.
Кстати, ответ такой же. Мне показалось красиво.

[Утундрий]

miflin в сообщении #1428184 писал(а):

А разве не так? - момент инерции минимален относительно оси, проходящей через центр масс?

Откуда сомнения? Теорема Гюйгенса-Штейнера же.

[EUgeneUS]

Точка пересечения медиан является барицентром как для плоского треугольника, так и для системы из трех одинаковых масс в вершинах. Что само по себе удивительно.
Возможно, были сомнения во втором....

[miflin]

Утундрий в сообщении #1428188 писал(а):

Откуда сомнения?

Дык никаких сомнений.
Меня просто удивило, что pogulyat_vyshel, высказав правильную мысль, удалил свой пост, который Вы, возможно, не успели увидеть...

[dovlato]

Я в тупой растерянности. Было так, как написал выше. Нет, ничего не знал о посте pogulat vyshel.
Кстати, сначала поместил, в чуть более простом виде, на форуме в profy.ru (ваш репетитор). В разделе "свободное творчество" (название не моё). Но там как-то пока глухо.

[miflin]

Как я решал задачу.
Лет 20-30 назад я вывел и "зарубил себе на носу" ,
что момент инерции минимален относительно оси (из множества параллельных осей), проходящей через центр масс тела.
Из этого и исходил. Осталось нагуглить формулу для расстояния от вершины треугольника до точки пересечения медиан.
И pogulyat_vyshel, как я понял, намекал на это же.

[dovlato]

Не, я не так. Чукча же не читатель, чукча - писатель. Принял стороны треугольника за векторы, так что $\mathbf c=\mathbf a-\mathbf b$. Дальше не особо сложная алгебра векторов - и готов главный результат

$$3I_0=m (a^2+b^2+c^2)$$

[miflin]

miflin в сообщении #1428199 писал(а):

Из этого и исходил. Осталось нагуглить формулу для расстояния от вершины треугольника до точки пересечения медиан.
И pogulyat_vyshel, как я понял, намекал на это же.

А теперь, немного придя в себя, понял, что нужно ещё доказать, что центр масс треугольника с тремя точечными
массами в вершинах также находится в точке пересечения медиан, как и в треугольнике с равномерным распределением
плотности по всей площади. Возможно по этой причине pogulyat_vyshel и удалил свой пост?
Но ответы совпали...

[dovlato]

Доказывается элементарно. Кладём этот треугольник на лезвие прямого ножа, чтобы оно совпало с одной из медиан; представили? - треугольник будет в равновесии. Причём и тот, и другой.

[miflin]

Действительно.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Оказывается ,разжечь флейм можно не только написав пост, но и удалив его.

Задача 2: в условиях задачи стартового поста найти главные центральные оси инерции треугольника