Помогите, пожалуйста, решить

[arhat]

Здравствуйте!

Сын решал варианты ЕГЭ для подготовки и показал мне три задачи, которые поставили и меня в тупик. Прошу помочь:

1. Найдите число целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства $($а$-1)$$x^2$ \le $(3a+2)x+10a$ содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным -8, и разностью $d\le6$

2. Сторона основания первой правильной треугольной пирамиды равна $6\sqrt3$. Вершина второй правильной треугольной пирамиды находится в центре основания первой. Вершины основания второй пирамиды расположены на трех ребрах одной из боковых граней первой пирамиды, причем одна из них - в середине ребра основания первой. Найдите радиус окружности, описанной вокруг основания второй пирамиды.

3. Найдите число решений системы уравнений:
$\pi^2 y^2+12 x^2=8\pi x y$,
$y^2=y(\cos 2x-\sin x)+\sin x \cos2x$

Вот такие вот задачи. М-да...

Заранее с благодарностью, Константин

[PAV]

На форуме следует записывать формулы, используя нотацию $\TeX$ (введение, справка). Исправьте.

[arhat]

[quote="PAV"][/quote]

Это мне специально этот язык освоить надо?

[Алексей К.]

Да. Вам или сыну. И не язык, а в Вашем простом случае --- небольшой набор правил. И это единственная плата, которую здесь берут эа помощь. Денег не берут. Это здесь типа норм поведения (вместо галстука или красивого сервиза в других случаях).
Написав всего лишь

$(a-1)х^2 \le (3a+2)x+10a$ --- у Вас тут было русское "ха"^2 ! 
$\pi^2 y^2+12 x^2=8\pi x y$
$y^2=y(\cos 2x-\sin x)+\sin x \cos2x$,

Вы получите требуемое:
$(a-1)x^2 \le (3a+2)x+10a$,
$\pi^2 y^2+12 x^2=8\pi x y$,
$y^2=y(\cos 2x-\sin x)+\sin x \cos2x$.

[e7e5]

arhat писал(а):

Здравствуйте!

Сын решал варианты ЕГЭ для подготовки и показал мне три задачи, которые поставили и меня в тупик. Прошу помочь:

1. Найдите число целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства $($а$-1)$$x^2$ \le $(3a+2)x+10a$ содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным -8, и разностью, меньше или равной 6

[Алексей К.]

На самом деле --- дальше хуже. Потом потребуют предъявить свои попытки решения. Показать хотя бы, что Вы нашли корни квадратного уравнения ---

$$x_{1,2}=\frac{3a+2\pm(7a-2)}{2(a-1)}=\begin{cases}-2\\\frac{5a}{a-1}\end{cases}$$

потом начнут подсказывать...
В общем, стоит хорошо подумать, прежде чем...

[arhat]

Алексей К. писал(а):

Да. Вам или сыну. И не язык, а в Вашем простом случае --- небольшой набор правил. И это единственная плата, которую здесь берут эа помощь. Денег не берут. Это здесь типа норм поведения (вместо галстука или красивого сервиза в других случаях).
Написав всего лишь

$(a-1)х^2 \le (3a+2)x+10a$ 
$\pi^2 y^2+12 x^2=8\pi x y$
$y^2=y(\cos 2x-\sin x)+\sin x \cos2x$,

Вы получите требуемое:
$(a-1)х^2 \le (3a+2)x+10a$,
$\pi^2 y^2+12 x^2=8\pi x y$,
$y^2=y(\cos 2x-\sin x)+\sin x \cos2x$.

Ради сына я освою. А за пример спасибо огромное! Я на конкретных примерах лучше "въезжаю".

Добавлено спустя 7 минут 24 секунды:

Алексей К. писал(а):

На самом деле --- дальше хуже. Потом потребуют предъявить свои попытки решения. Показать хотя бы, что Вы нашли корни квадратного уравнения ---

$$x_{1,2}=\frac{3a+2\pm(7a-2)}{2(a-1)}=\begin{cases}-2\\\frac{5a}{a-1}\end{cases}$$

потом начнут подсказывать...
В общем, стоит хорошо подумать, прежде чем...

Да я попробовал, но, видимо, где-то ошибся в свертывании уравнений через тригонометр. преобразования. А в прогрессии не могу понять, что лучше - формулу прогрессии подставить в решение кв. ур-ия или наоборот, решение в эту формулу и потом искать область определения. Ну а с пирамидами никак не увижу, какое доп. построение позволяет найти сторону основания второй пирамиды.

[Алексей К.]

arhat в сообщении #142855 писал(а):

Я на конкретных примерах лучше "въезжаю".

В упомянутой модератором ссылке Вы найдёте кучу примеров. В том числе $\sqrt{\mbox{удивительной красоты квадратные корни}}$.
Не используйте в формулах русских букв (у Вас проскочили "а", "х").
Задачка-то, похоже, муторная, во что я ввязываюсь? Но зато вроде не к спеху. А пока --- в баню!

Добавлено спустя 25 минут 21 секунду:

Начнём с того, что прогрессия возрастает. Чтобы совпасть с решениями неравенства $(a-1)x^2 - (3a+2)x -10a \le 0$, рога параболы должны быть направлены вниз: $a-1<0$. Случай НЕпараболы (прямой, $a=1$) надо тоже не забыть. Типа потом (или сразу).
Далее, дырка между $x_1,x_2$ должна быть меньше шага прогрессии, иначе её члены туда провалятся. Или вся прогрессия правее дырки...
Всё это пока на скорую руку, типа только соображения.

[Taras]

3 задача простая. Советую рассмотреть в первом уравнении квадратичную форму(полином) и найти его дискриминант.

[e7e5]

arhat писал(а):

Алексей К. писал(а):

На самом деле --- дальше хуже. Потом потребуют предъявить свои попытки решения. Показать хотя бы, что Вы нашли корни квадратного уравнения ---

$$x_{1,2}=\frac{3a+2\pm(7a-2)}{2(a-1)}=\begin{cases}-2\\\frac{5a}{a-1}\end{cases}$$

потом начнут подсказывать...
В общем, стоит хорошо подумать, прежде чем...

А в прогрессии не могу понять, что лучше - формулу прогрессии подставить в решение кв. ур-ия или наоборот, решение в эту формулу и потом искать область определения.

Посмотрите, первый корень не зависит от $a$.
К какому числу стремится второй корень при больших отрицательных или положительных $a$? К "ПЯТЕРКЕ", почему?

А члены прогрессии? -8; -2; 4; 10 ( разность $d=6$)
или -8; -3; 2; 7, ( разность прогрессии 5)
или -8; -4; 0; 4;8,
или -8; -5; -2; 1; 4; и т.д

[Алексей К.]

В бане у меня получился 0 как ответ на первую задачу. В последнее время часто ошибаюсь, но задача вроде как лёгкая. По третьей возникла только концепция --- решить уравнения относительно $y$, и дискриминатны наверняка что-то скажут. К пирамидкам пока страшно подступаться (тема "бедные дети" здесь офф-топик). Чего нового?

[zoo]

Что-то я пока ни одной по-настоящему заслуживающей внимания задачи в ЕГЭ не видел, а говорили олипиадного уровня... Вообще "сложность" обусловленая не математической природой, а просто нагромождением разных несложных поотдельности задач свойственна педагогическому сообществу.

[arhat]

Алексей К. писал(а):

Начнём с того, что прогрессия возрастает. Чтобы совпасть с решениями неравенства $(a-1)x^2 - (3a+2)x -10a \le 0$, рога параболы должны быть направлены вниз: $a-1<0$. Случай НЕпараболы (прямой, $a=1$) надо тоже не забыть. Типа потом (или сразу).
Далее, дырка между $x_1,x_2$ должна быть меньше шага прогрессии, иначе её члены туда провалятся. Или вся прогрессия правее дырки...
Всё это пока на скорую руку, типа только соображения.

Кстати, очень полезные соображения - я хочу научить сына делать именно рассуждения, которые могут позволить упростить решение задачи или увидеть области ограничений и тем самым сократить число вычислений. Для ЕГЭ, будь он неладен, да и вообще это навык весьма полезный. Так что счпасибо - покажу сыну, как надо ВИДЕТЬ СУТЬ уравнения, а не начинать пытаться сразу его тупо решать. Хотя иногда надо и тупо, увы....

Добавлено спустя 2 минуты 17 секунд:

zoo писал(а):

Что-то я пока ни одной по-настоящему заслуживающей внимания задачи в ЕГЭ не видел, а говорили олипиадного уровня... Вообще "сложность" обусловленая не математической природой, а просто нагромождением разных несложных поотдельности задач свойственна педагогическому сообществу.

Вот с той же пирамидкой весьма нетривиальная задача на стереометрию. Пока допрешь до вспомогательного построения, которое показывает путь к решению, вспотеешь. А детям эту хрень надо успеть за 4 часа написать, да еще аккуратно оформить.

[Алексей К.]

"Для того, чтобы множество решений неравенства содержало указанную последовательность, оно должно быть..." ---
вариант (а): бесконечным;
вариант (б): неограниченным сверху;
вариант (в): ?;
(а) --- неправильное выражение мысли, ибо множество чисел на отрезке [0,1] тоже бесконечно.
(б) --- правильно, но я не знаю школьной терминологии для выражения этой мысли; видимо, некое (в).

Поэтому рассмотрим случаи $a-1\lesseqgtr 0$ (этот логический переход мы не обосновываем подробнее: нашего --- и проверяющего --- опыта решения кв. неравенств достаточно для того, чтобы знать о роли знака старшего коэффициента в этих рассуждениях).

(1) $a-1>0$. Множество решений неравенства ограничено или пусто (парабола рогами вверх). Не подходит.

(2) $a-1=0$. Неравенство принимает вид $0\le5x+10$, $x\ge -2$. Подошло бы, но $-8$ не вписывается. Не подходит.

(3) $a-1<0$. Корни кв. ур.: $x_1=-2$, $x_2=\frac{5a}{a-1}$. При этом $x_2>x_1$ (дать обоснование).
(3.1) При $a=0$ имеем $x\le -2 \cup x\ge 0$. Сюда искомая последовательность вполне вписывается.
(3.2) [updated] При $a\le -1$ имеем $x_2=\frac{(5a-5)+5}{a-1}=5+\frac{5}{a-1}<5$. Необходимо, чтобы дырка между корнями была $x_2-x_1\le d\le 6$:
$7+\frac{5}{a-1}\le 6\quad\Longrightarrow\quad a\ge -4$.
Далее, например, простой перебор чисел -4,-3,-2,-1 или игра с формулой последовательности. Поскольку решение у Вас уже есть, заканчивать не буду.

Алексей К. дал неверный ответ, когда в сообщении #142889 писал(а):

В бане у меня получился 0 как ответ на первую задачу.

Об уместности таких задач на экзамене с интересом бы порассуждал, но словами за пивом-кофием, и вряд ли писанием. Почаса беседы --- часов 12 писанины... Ну, и уж если писать, то в другой теме.
Одно замечу, на мой взгляд, такие задачи были бы полезны как тема маленького сочинения, в котором нет места типичным школьным сокращениям "дискр.<0, 2кор.+5св." и прочая, а присутствуют посылки, выводы, нормальные объяснялки, соотв., придаточные предложения, етс. Сочинение проверяется и учителем русского языка. Ученик умнеет и грамотеет. Списывая же что-то где-то как-то про образ совсем непонятного Базарова и даже Татьяны Лариной, он, если и умнеет, то в плане "как бы обмануть и выкрутиться".

[arhat]

Алексей К. писал(а):

Ответ: число целых значений параметра --- 1. Это единственное значение (хотя в задачке и не спрашивается) есть $a=0$.

А в ответах указано, что 5, т.е. таких значений параметра 5!