Больцано-Вейерштрасс (подпоследовательности...)

[bubu gaga]

Задание. Пусть $(a_n)$ - ограниченная последовательность. Определим множество

$$ S = \bigl\{x \in \mathbb{R} : x < a_n \; \text{для бесконечного числа членов} \; a_n \bigr\} $$

Показать, что существует подпоследовательность $(a_{n_k})$ сходящаяся к $\sup S$.

Первый вопрос: почему вообще можно задавать множества такими условиями? Переводится ли условие про бесконечное число переводится в язык предикатов? Спасибо!

[Mikle]

в данном случае такое множество легко представить: надо отметить точки последовательности на числовой оси; т.к. множество ограничено, то существует нижняя грань, от нее начнем двигаться вправо, пока выполняется условие.

наверное, возможность такого условия следует из того, что мы указываем подмножество из уже существующего множества.

существование требуемой последовательности следует из свойств точной верхней грани.

[Бодигрим]

bubu gaga в сообщении #142953 писал(а):

Первый вопрос: почему вообще можно задавать множества такими условиями?

А почему нельзя? В фигурных скобках может быть записано _любое_ условие, которое при подстановке в него произвольного $x$ однозначно обращается в ложь или истину.

На языке предикатов это звучало бы так:

$$ S=\{ x\in\mathbb{R} \mid \forall m\, \exists n>m\, x<a_n \} $$

[bubu gaga]

Бодигрим писал(а):

А почему нельзя? В фигурных скобках может быть записано _любое_ условие, которое при подстановке в него произвольного $x$ однозначно обращается в ложь или истину.

Я попробую довести мысль до абсурда, чтобы проиллюстрировать мои сомнения. В конце концов когда мы решаем задание мы ищем множество

$$ \text{Ы} = \bigl\{x \in \mathbb{R} : \text{где $x$ - элемент множества решений задачи 3.7.8 из книги Пупкина}\bigr\} $$

Чем конкретно такое описание хуже предиката? Наверное, я даже уточню: что значит "однозначно обращается в ложь или истину"? Спасибо!

[Mikle]

определим отображение $\mathbb R \mapsto \{0, 1\}$.
прообраз 1 будет нашим множеством $S$
однозначно - каждый элемент из $\mathbb R$ переходит ровно в один из элементов множества $\{0, 1\}$

[Бодигрим]

bubu gaga в сообщении #142964 писал(а):

Чем конкретно такое описание хуже предиката? Наверное, я даже уточню: что значит "однозначно обращается в ложь или истину"? Спасибо!

Ничем не хуже. Вполне себе нормальное определение. Потому что мы можем полезть в книжку Пупкина и выяснить, что там за множество решений и подставить выражение для него. В конце концов подставляя и переводя словесные формулировки в предикатные, мы получим некоторое высказывание логики предикатов.

Добавлено спустя 17 минут 36 секунд:

Условие, записанное в предикатной форме, не обязательно должно быть легко проверяемым для каждого набора свободных переменных на современом уровне развития математики. Например, я могу записать что-нибудь в духе $\{ n\mid \exists x,y,z,t\in\mathbb{N}\, x^n+y^n+z^n=t^n \}$.

Но для любого предикатного условия (обозначим его $P$) для каждого набора свободных переменных верно ровно одно из двух: либо $P$, либо $\bar P$. Это я и имел в виду, говоря об однозначном обращении в ложь или истину.

[bubu gaga]

Mikle писал(а):

в данном случае такое множество легко представить: надо отметить точки последовательности на числовой оси; т.к. множество ограничено, то найдется минимальный элемент, от этого элемента начнем двигаться вправо, пока выполняется условие.

$A = \{1 / n : n \in \mathbb{N} \} $ - ограничено, но без минимального элемента

[Mikle]

найдется такое $m$, что все элементы последовательности будут больше $m$

минимального, конечно, может не быть. косяк вышел

[bubu gaga]

Бодигрим писал(а):

Условие, записанное в предикатной форме, не обязательно должно быть легко проверяемым для каждого набора свободных переменных на современом уровне развития математики.

Понятно, "описать способ вычисления элементов множества" и "проверить принадлежность элемента множеству" это разные вещи (разной сложности).

Но в случае с приведённым мной в самом начале примером, нам необходима непустота множества, или я не прав? И наличие однозначной процедуры проверки не гарантирует, что найдётся хотя бы один элемент, который её выстоит.

[Mikle]

непустота множества в первом примере нужна( для определения верхней грани - для пустого множества верхнюю грань немного бессмысленно определять, по-моему).

[ewert]

bubu gaga писал(а):

Задание. Пусть $(a_n)$ - ограниченная последовательность. Определим множество

$$ S = \bigl\{x \in \mathbb{R} : x < a_n \; \text{для бесконечного числа членов} \; a_n \bigr\} $$

Показать, что существует подпоследовательность $(a_{n_k})$ сходящаяся к $\sup S$.

Для любой последовательности по некоторой её подпоследовательности достигается как её верхний предел, так и нижний.

Попытайтесь доказать, что $\sup S$ совпадает именно с верхним пределом.

(здесь, конечно, существенна ограниченность последовательности, ибо в противном случае множество $S$ могло бы оказаться пустым)

[bubu gaga]

ewert писал(а):

Для любой последовательности по некоторой её подпоследовательности достигается как её верхний предел, так и нижний.

Попытайтесь доказать, что $\sup S$ совпадает именно с нижним пределом.

Обозначим $ s_k = \sup \; \{ x \in \mathbb{R} : \forall_{n \ge k} \; x < a_n \} $

Последовательность $(s_k)$ растёт и ограничена сверху. Следовательно у неё существует предел $s$.

По построению в любой окрестности точки $s$ есть бесконечное число элементов $a_n$ ($s_n$ рано или поздно "проскакивает" любое конечное количество точек). Теперь вокруг точки $s$ можно строить сходящуюся к ней подпоследовательность вырезая кольца шириной $1 / n - 1 / (n + 1)$ и пользуясь аксиомой выбора (если я ничего не путаю)

К сожалению короче и элегантнее не получается.

[ewert]

bubu gaga писал(а):

Обозначим $ s_k = \sup \; \{ x \in \mathbb{R} : \forall_{n \ge k} \; x < a_n \} $

Вообще-то я не понял, каким образом это непосредственно связано с

bubu gaga писал(а):

множество

$$ S = \bigl\{x \in \mathbb{R} : x < a_n \; \text{для бесконечного числа членов} \; a_n \bigr\} $$

--------------------------------------------------------------
Лично я стал бы доказывать так. Пусть $c=\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\mathop{\sup}\limits_{k\geqslant n}a_k$. Надо, собственно, убедиться в том, что из $x<c$ следует $x\in S$ и что из $x>c$ следует $x\notin S$ (это и будет означать, что $c=\sup S$).

Пусть $x<c$. Последовательность супремумов сходится, поэтому $x$ будет строго меньше любого супремума, начиная с некоторого номера $n$. Поскольку в множестве есть числа, сколь угодно близкие к супремуму, это означает: для любого достаточно большого $n$ найдётся $k>n$ такое, что $x<a_k$. Это означает, что $x$ лежит левее бесконечного набора элементов последовательности, т.е. принадлежит $S$.

С другой стороны, если $x>c$, то $x$ строго больше любого достаточно далёкого супремума. Т.е. $x$ строго больше любого достаточно далёкого элемента последовательности. Т.е. $x$ не принадлежит $S$.

--------------------------------------------------------------
Откуда вывод: в предыдущем сообщении я перепутал верхний и нижний пределы. Сейчас исправлю.

[bubu gaga]

ewert писал(а):

bubu gaga писал(а):

Обозначим $ s_k = \sup \; \{ x \in \mathbb{R} : \forall_{n \ge k} \; x < a_n \} $

Вообще-то я не понял, каким образом это непосредственно связано с

bubu gaga писал(а):

множество

$$ S = \bigl\{x \in \mathbb{R} : x < a_n \; \text{для бесконечного числа членов} \; a_n \bigr\} $$

$$ S_k = \{ x \in \mathbb{R} : \forall_{n \ge k} \; x < a_n \} $$

Тогда $S_1 \subset S_2 \subset S_3 \dots \subset S$. Но Вы правы, таким образом я остановлюсь на самой нижней предельной точке и до $S$ не обязательно доберусь, а это противоречит условию задания.

Я понял как найти верхнюю предельную точку, спасибо!

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Первый вопрос: почему вообще можно задавать множества такими условиями? Переводится ли условие про бесконечное число переводится в язык предикатов?

Алаверды.
Переводится даже лучше

$$ S=\bigcap\limits_{n=1}^\infty\bigcup\limits_{k=n}^\infty\{x<a_k\} $$