Отрыв обруча (ничего не дано)

[versham]

Однородный обруч стоит на столе. К верхней точке обруча крепко приделана тяжелая бусинка. От небольшого толчка обруч начинает катиться без проскальзывания. При каком отношении масс бусинки и обруча вся система оторвется от стола?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи (если вы знаете, как решается задача, и хотите предложить решить ее другим участникам, пришлите решение в ЛС модератору).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (Ф)»
Причина переноса: авторское решение есть.

[pogulyat_vyshel]

Считать, честно говоря, в лом
Введем неподвижную систему координат $xy$ ось $y$ направлена вертикально вверх. Циклоида по которой движется бусина массы $m$ задается уравнением

$$x_m=\psi r+r\sin\psi,\quad y_m=r+r\cos \psi.\qquad (1)$$

Кинетическая энергия системы:

$$T=\frac{1}{2}m(\dot x_m^2+\dot y_m^2)+M(r\dot\psi)^2,$$

$M$ -- масса обруча, $r$ -- радиус обруча.
Потенциальная энергия $V=mgr\cos\psi.$
Интеграл энергии

$$T+V=mgr\qquad (2)$$

Теорема о движении центра масс в проекции на вертикальную ось приводится к виду

$$m\ddot y_m=-g(m+M)+T_y, \qquad (3)$$

где $T_y$ -- нормальная составляющая силы реакции.

Далее из формул (1) (2) (3) дифференцируя и подставляя одно в другое, находим $T_y=T_y(\psi)$. И смотрим при каких условиях эта функция меняет знак.

[Утундрий]

pogulyat_vyshel в сообщении #1429184 писал(а):

Кинетическая энергия системы:

$$T=\frac{1}{2}m(\dot x_m^2+\dot y_m^2)+M(r\dot\psi)^2,$$

Что-то не нравится мне эта формула.

[pogulyat_vyshel]

а в чем проблема-то?

[Утундрий]

Не упущено ли поступательное движение обруча?

[pogulyat_vyshel]

нет не упущено, поэтому там нет $\frac{1}{2}$

[versham]

Если кому-то интересно, ответ
$\frac{m}{M}=13$
(мне кажется, неожиданно красивый)

[pogulyat_vyshel]

versham в сообщении #1429323 писал(а):

Если кому-то интересно, ответ
$\frac{m}{M}=13$
(мне кажется, неожиданно красивый)

красивый, только вот верный ли это неизвестно

[pogulyat_vyshel]

да, это верный ответ

-- 08.12.2019, 22:36 --

Только правильнее $M<m/13$

[Утундрий]

У этой задачи есть интересное продолжение. Пусть, для простоты, вся масса системы сосредоточена в точке на границе обруча, который начинает свое движения из положения, близкого к неустойчивому равновесию. Опишите движение обруча после "отрыва". (И заодно объясните, почему отрыв взят мною в кавычки.)

[pogulyat_vyshel]

это некорректная задача

[Утундрий]

У меня получается такая картина. В момент чуть позже отрыва, когда связь должна была стать тянущей, должно происходить свободное движение обруча. Парадокс в том, что это движение возвращает обруч на опору и отрыва не происходит. Возникает вопрос - можно ли из этого парадокса выйти, не слишком усложняя модель? Скажем, считать, что вместо отрыва происходит замена качения на скольжение.

[fred1996]

Я не считал задачку, но не вижу, в чем ее некорректность. В любой момент до отрыва (пока реакция опоры положительна) можно сосчитать вектор скорости бусинки и угловую скорость вращения обруча. В момент отрыва (реакция опоры ноль), считаем этот вектор скорости и угловую скорость и далее решаем кинематическую задачу об одновременном движении бусинки по параболе и врещении обруча с постоянной угловой скоростью вокруг этой бусинки. Остается оценить траекторию движения нижней точки обруча. Кинематика однозначна. В чем некорректность? Конечно, мы полагаем, что всегда соблюдается условие непроскальзывания. Может в этом некорректность. Но, спешу заметить, что существует целое множество таких задач типа скатывание шара со сферы, где есть та же самая некорректность. Но ее по умолчанию почему-то замалчивают.