Исследование на максимум и минимум функции двух переменных

[Gecko]

Необходимо исследовать на максимум и минимум функцию двух переменных:

$$z=x^2+xy+y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$$

Сначала нужно найти критические точки, в которых

$$\dfrac{\partial z(x_0, y_0)}{\partial x}=0$$

$$\dfrac{\partial z(x_0, y_0)}{\partial y}=0$$

Эти производные также могут не существовать.
При этом

$$\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x+y-\dfrac{1}{x^2}$$

$$\dfrac{\partial z}{\partial y}=2y+x-\dfrac{1}{y^2}$$

Получается система уравнений:

$$\begin{cases} 2x^3+x^2y-1=0 \\2y^3+y^2x-1=0 \end{cases}$$

Не знаю, как ее решить. А может быть здесь вообще какой-то другой метод использовать нужно? Просьба помочь.

[nnosipov]

Gecko в сообщении #1429115 писал(а):

Не знаю, как ее решить.

Но это ведь обычная задача школьной алгебры. Вычтите из одного уравнения другое, например.

[Gecko]

Значит школьную алгебру я основательно подзабыл . Пытаюсь подтягивать совместно с матанализом.

$$2(x^3-y^3)+x^2y-y^2x=0$$

$$2(x-y)(x^2+xy+y^2)+xy(x-y)=0$$

$$(x-y)(2x^2+3xy+2y^2)=0$$

$$x=y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$$

Вроде так. Спасибо!