Строгость при использовании O символики

[ioleg19029700]

В книге Уравнения математической физики (А. А. Самарский, А. Н. Тихонов) есть дополнение про метод конечных разностей. В этом дополнении есть пример использования интегро-интерполяционного метода (метода) баланса для получения разностной схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами (стр. 609-614, изд. 6).

Пусть уравнение, для которого нужно получить аппроксимацию имеет вид:

$$\frac{d}{dx}\left(k(x)\frac{du}{dx}\right) = -f(x)$$

Тогда в ходе аналогичных рассуждений получаем схему:

$$\frac{1}{h}\left[a_{i+1}\frac{y_{i+1}-y_i}{h} - a_i\frac{y_i - y_{i-1}}{h}\right] + \varphi_i = 0$$

Есть возможность выбрать $a_i$ по разному, но пусть здесь $a_i = k_{i-\frac{1}{2}} = k(x_{i-1}+\frac{h}{2})$
Погрешность аппроксимации

$$\psi_i = \frac{1}{h^2}\left(a_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-a_i(u_i-u_{i-1})\right) + \varphi_i$$

Далее написано, что нужно подставить разложение $u_{i\pm1} = u_i \pm hu'_i + \frac{h^2}{2}u''_i \pm \frac{h^3}{6}u'''_i + \mathcal{O}(h^4)$ и вычесть ноль из правой части $\psi_i$, т.е. $((ku')' + f)_i = 0$. В итоге получим:

$$\psi_i = \left(\frac{a_{i+1}-a_i}{2} - k_i\right)u''_i + \left(\frac{a_{i+1}-a_i}{h} - k'_i\right) + (\varphi_i - f_i)$$

После этого я понимаю, что просто необходимо выбрать $a_i$ и $\varphi_i$ так, чтобы в скобках осталось только $\mathcal{O}(h^2)$. Это обеспечит второй порядок аппроксимации в точке.

У меня возникает целый ряд вопросов.
Во-первых, какой уровень строгости необходимо соблюдать при работе с разложениями, содержащими О-символику, чтобы получить корректный результат?
Во-вторых, перед скобкой есть дробь $\frac{1}{h^2}$, именно поэтому мы раскладываем $u_{i\pm1}$ до $\mathcal{O}(h^4)$?
В-третьих, можно ли было использовать разложение до $\mathcal{O}(h^2)$, а потом просто его отбросить (к тому же вопросу о строгости) и использовать при подстановке первые два слагаемых. Или же здесь всё же можно провести строгую выкладку?
Если используем разложение до $\mathcal{O}(h^4)$, подставляем его в аппроксимацию и делим на $h^2$, то в каждой скобке остается $\mathcal{O}(h^2)$ и линейная часть $hu'''_i$, от которой вообще не понятно как избавляться. Кроме того, будут появляться слагаемые вида $a_{i}\mathcal{O}(h^2)$. И что с этим делать, чтобы получить то же выражение для аппроксимации?

[пианист]

ioleg19029700 в сообщении #1429012 писал(а):

Во-вторых, перед скобкой есть дробь $\frac{1}{h^2}$, именно поэтому мы раскладываем $u_{i\pm1}$ до $\mathcal{O}(h^4)$?

Примерно. И чтобы получить при этом невязку $\mathcal{O}(h^2)$

ioleg19029700 в сообщении #1429012 писал(а):

В-третьих, можно ли было использовать разложение до $\mathcal{O}(h^2)$

Мы же аппроксимируем вторые производные, как при этом можно обойтись разложением только до первых?
Вот до $\mathcal{O}(h^3)$ можно было, но тогда невязка была бы только $\mathcal{O}(h)$.
Насчет уровня строгости и прочего не понял, про что речь.

[ioleg19029700]

пианист
Если используем разложение до $\mathcal{O}(h^4)$ и затем подставляем его в $\psi_i$, делим на $h^2$ и получаем:

$$a_{i+1}(\frac{u'_i}{h}+\frac{u''_i}{2}+\frac{h}{6}u'''_i + \mathcal{O}(h^2)) - a_i(\frac{u'_i}{h}-\frac{u''_i}{2}+\frac{h}{6}u'''_i + \mathcal{O}(h^2))+\varphi_i$$

Раскрываем скобки и приводим подобные:

$$\frac{a_{i+1}+a_i}{2}u''_i + \frac{a_{i+1}-a_i}{h}u'_i + \frac{a_{i+1}-a_i}{6}hu'''_i + a_{i+1}\mathcal{O}(h^2)-a_i\mathcal{O}(h^2) + \varphi_i$$

От последних трех слагаемых нужно как-то избавиться. Я не понимаю как избавиться от третьего слагаемого, в которое $h$ входит линейно, а также от $a_{i+1}\mathcal{O}(h^2)$ и $a_i\mathcal{O}(h^2)$ так, чтобы это было корректно, а не просто фраза "пренебрежем ими в силу малости" (ну или вроде того). Как это сделать?

[mihaild]

ioleg19029700 в сообщении #1429012 писал(а):

разложение $u_{i\pm1} = u_i \pm hu'_i + \frac{h^2}{2}u''_i \pm \frac{h^3}{6}u'''_i + \mathcal{O}(h^4)$

Попробуйте здесь вместо $\mathcal O(h^4)$ честно написать $g(i, h) \cdot h^4$. А в конце воспользоваться тем, что $g$ ограничена.

[ioleg19029700]

mihaild

Вы имеете в виду использование остаточного члена в форме Коши или Лагранжа? Если так переписать, подставить, поделить и привести подобные, то появятся слагаемые $a_{i+1}g(i,h)h^2$ и $a_ig(i,h)h^2$. Тогда предполагая ограниченность $a_i$ и $a_{i+1}$ на сегменте $[x_i, x_i + \frac{h}{2}]$, а также ограниченность $g(i,h)$, получим (из определения O символики), что $a_{i+1}g(i,h)h^2 = \mathcal{O}(h^2)$ и $a_ig(i,h)h^2 = \mathcal{O}(h^2)$, а их сумма снова даст $\mathcal{O}(h^2)$. В итоге будет верно равенство

$$\psi_i =\frac{a_{i+1}+a_i}{2}u''_i + \frac{a_{i+1}-a_i}{h}u'_i + \frac{a_{i+1}-a_i}{6}hu'''_i + \mathcal{O}(h^2)+ \varphi_i$$

Вы это имели в виду? Как теперь быть с $\frac{a_{i+1} - a_i}{6}hu'''_i$?

[Red_Herring]

ioleg19029700 в сообщении #1429012 писал(а):

Уравнения математической физики (А. А. Самарский, А. Н. Тихонов) есть дополнение про метод конечных разностей.

Спаси и сохрани! Лет 40 назад меня попросили объяснить эту главу, я посмотрел, и хотя материал я знал, я не понял ничего (от слова совсем) Изложение было совершенно безумным. Я спросил у своего старшего коллеги, ныне покойного, хорошо знавших обоих авторов, как в общем-то неплохой (хотя и не выдающейся) книжке могла появиться такая не по-людски написанная глава. "Книгу псал Тихонов, а главу Самарский! (плюс пара комментариев)" Читайте нормальные книги, например С.К.Годунова.

[ioleg19029700]

В итоге утверждение о том, что схема имеет второй порядок точности кажется просто голословным. Я не смог избавиться от слагаемого $\frac{a_{i+1} - a_i}{6}hu'''_i$, которое не дает получить второй порядок. При этом раскладывать $u_{i\pm1}$ только до $\mathcal{O}(h^3)$ также нельзя, т.к. после деления на $h^2$ получаем $\mathcal{O}(h)$, из-за которого снова не получается второй порядок.
Либо я совсем тупой, либо это действительно ложное утверждение в классической книге.

Red_Herring
Я посмотрел Годунова, и там конечно прекрасная теория. Однако конкретных схем для задач с переменными коэффициентами я не смог найти.

Я не понимаю момента, где ломается рассуждение. Вывод: если просто отбросить в разложении слагаемые с $h^3$ и $\mathcal{O}(h^4)$ и подставлять без них, то все рассуждения совпадут. Однако вопрос о корректности такого действия так и остался не разрешенным

[mihaild]

ioleg19029700 в сообщении #1429068 писал(а):

Как теперь быть с $\frac{a_{i+1} - a_i}{6}hu'''_i$?

Я не особо вникал в детали, но вроде бы есть условие $\frac{a_{i + 1} - a_i}{h} = k'_i + O(h^2)$. Если $k'_i$ и $u'''_i$ ограничены, от из этого следует что $\frac{a_{i+1} - a_i}{6}hu'''_i = O(h^2)$.

[Утундрий]

(Оффтоп)

$\displaystyle O, \ \displaystyle o$

[ioleg19029700]

mihaild

И правда, $\frac{a_{i+1}-a_i}{6}hu'''_i = \frac{a_{i+1}-a_i}{6h}h^2u'''_i$! Тогда из этой формы легко видеть то, что вы написали. Большое Вам спасибо! Это то самое условие, что я искал. Как всегда по-невнимательности упустил столь важную деталь. Ещё раз спасибо.