2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Строгость при использовании O символики
Сообщение06.12.2019, 03:01 


21/12/16
73
В книге Уравнения математической физики (А. А. Самарский, А. Н. Тихонов) есть дополнение про метод конечных разностей. В этом дополнении есть пример использования интегро-интерполяционного метода (метода) баланса для получения разностной схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами (стр. 609-614, изд. 6).

Пусть уравнение, для которого нужно получить аппроксимацию имеет вид: $$\frac{d}{dx}\left(k(x)\frac{du}{dx}\right) = -f(x)$$
Тогда в ходе аналогичных рассуждений получаем схему: $$\frac{1}{h}\left[a_{i+1}\frac{y_{i+1}-y_i}{h} - a_i\frac{y_i - y_{i-1}}{h}\right] + \varphi_i = 0$$

Есть возможность выбрать $a_i$ по разному, но пусть здесь $a_i = k_{i-\frac{1}{2}} = k(x_{i-1}+\frac{h}{2})$
Погрешность аппроксимации $$\psi_i = \frac{1}{h^2}\left(a_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-a_i(u_i-u_{i-1})\right) + \varphi_i$$

Далее написано, что нужно подставить разложение $u_{i\pm1} = u_i \pm hu'_i + \frac{h^2}{2}u''_i \pm \frac{h^3}{6}u'''_i + \mathcal{O}(h^4)$ и вычесть ноль из правой части $\psi_i$, т.е. $((ku')' + f)_i = 0$. В итоге получим:
$$\psi_i = \left(\frac{a_{i+1}-a_i}{2} - k_i\right)u''_i + \left(\frac{a_{i+1}-a_i}{h} - k'_i\right) + (\varphi_i - f_i)$$

После этого я понимаю, что просто необходимо выбрать $a_i$ и $\varphi_i$ так, чтобы в скобках осталось только $\mathcal{O}(h^2)$. Это обеспечит второй порядок аппроксимации в точке.

У меня возникает целый ряд вопросов.
Во-первых, какой уровень строгости необходимо соблюдать при работе с разложениями, содержащими О-символику, чтобы получить корректный результат?
Во-вторых, перед скобкой есть дробь $\frac{1}{h^2}$, именно поэтому мы раскладываем $u_{i\pm1}$ до $\mathcal{O}(h^4)$?
В-третьих, можно ли было использовать разложение до $\mathcal{O}(h^2)$, а потом просто его отбросить (к тому же вопросу о строгости) и использовать при подстановке первые два слагаемых. Или же здесь всё же можно провести строгую выкладку?
Если используем разложение до $\mathcal{O}(h^4)$, подставляем его в аппроксимацию и делим на $h^2$, то в каждой скобке остается $\mathcal{O}(h^2)$ и линейная часть $hu'''_i$, от которой вообще не понятно как избавляться. Кроме того, будут появляться слагаемые вида $a_{i}\mathcal{O}(h^2)$. И что с этим делать, чтобы получить то же выражение для аппроксимации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгость при использовании O символики
Сообщение06.12.2019, 09:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
ioleg19029700 в сообщении #1429012 писал(а):
Во-вторых, перед скобкой есть дробь $\frac{1}{h^2}$, именно поэтому мы раскладываем $u_{i\pm1}$ до $\mathcal{O}(h^4)$?

Примерно. И чтобы получить при этом невязку $\mathcal{O}(h^2)$

ioleg19029700 в сообщении #1429012 писал(а):
В-третьих, можно ли было использовать разложение до $\mathcal{O}(h^2)$

Мы же аппроксимируем вторые производные, как при этом можно обойтись разложением только до первых?
Вот до $\mathcal{O}(h^3)$ можно было, но тогда невязка была бы только $\mathcal{O}(h)$.
Насчет уровня строгости и прочего не понял, про что речь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгость при использовании O символики
Сообщение06.12.2019, 13:27 


21/12/16
73
пианист
Если используем разложение до $\mathcal{O}(h^4)$ и затем подставляем его в $\psi_i$, делим на $h^2$ и получаем:
$$a_{i+1}(\frac{u'_i}{h}+\frac{u''_i}{2}+\frac{h}{6}u'''_i + \mathcal{O}(h^2)) - a_i(\frac{u'_i}{h}-\frac{u''_i}{2}+\frac{h}{6}u'''_i + \mathcal{O}(h^2))+\varphi_i$$
Раскрываем скобки и приводим подобные:
$$\frac{a_{i+1}+a_i}{2}u''_i + \frac{a_{i+1}-a_i}{h}u'_i + \frac{a_{i+1}-a_i}{6}hu'''_i + a_{i+1}\mathcal{O}(h^2)-a_i\mathcal{O}(h^2) + \varphi_i$$
От последних трех слагаемых нужно как-то избавиться. Я не понимаю как избавиться от третьего слагаемого, в которое $h$ входит линейно, а также от $a_{i+1}\mathcal{O}(h^2)$ и $a_i\mathcal{O}(h^2)$ так, чтобы это было корректно, а не просто фраза "пренебрежем ими в силу малости" (ну или вроде того). Как это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгость при использовании O символики
Сообщение06.12.2019, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
ioleg19029700 в сообщении #1429012 писал(а):
разложение $u_{i\pm1} = u_i \pm hu'_i + \frac{h^2}{2}u''_i \pm \frac{h^3}{6}u'''_i + \mathcal{O}(h^4)$
Попробуйте здесь вместо $\mathcal O(h^4)$ честно написать $g(i, h) \cdot h^4$. А в конце воспользоваться тем, что $g$ ограничена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгость при использовании O символики
Сообщение06.12.2019, 14:26 


21/12/16
73
mihaild

Вы имеете в виду использование остаточного члена в форме Коши или Лагранжа? Если так переписать, подставить, поделить и привести подобные, то появятся слагаемые $a_{i+1}g(i,h)h^2$ и $a_ig(i,h)h^2$. Тогда предполагая ограниченность $a_i$ и $a_{i+1}$ на сегменте $[x_i, x_i + \frac{h}{2}]$, а также ограниченность $g(i,h)$, получим (из определения O символики), что $a_{i+1}g(i,h)h^2 = \mathcal{O}(h^2)$ и $a_ig(i,h)h^2 = \mathcal{O}(h^2)$, а их сумма снова даст $\mathcal{O}(h^2)$. В итоге будет верно равенство
$$\psi_i =\frac{a_{i+1}+a_i}{2}u''_i + \frac{a_{i+1}-a_i}{h}u'_i + \frac{a_{i+1}-a_i}{6}hu'''_i + \mathcal{O}(h^2)+ \varphi_i$$
Вы это имели в виду? Как теперь быть с $\frac{a_{i+1} - a_i}{6}hu'''_i$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгость при использовании O символики
Сообщение06.12.2019, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
ioleg19029700 в сообщении #1429012 писал(а):
Уравнения математической физики (А. А. Самарский, А. Н. Тихонов) есть дополнение про метод конечных разностей.

Спаси и сохрани! Лет 40 назад меня попросили объяснить эту главу, я посмотрел, и хотя материал я знал, я не понял ничего (от слова совсем) Изложение было совершенно безумным. Я спросил у своего старшего коллеги, ныне покойного, хорошо знавших обоих авторов, как в общем-то неплохой (хотя и не выдающейся) книжке могла появиться такая не по-людски написанная глава. "Книгу псал Тихонов, а главу Самарский! (плюс пара комментариев)" Читайте нормальные книги, например С.К.Годунова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгость при использовании O символики
Сообщение06.12.2019, 16:45 


21/12/16
73
В итоге утверждение о том, что схема имеет второй порядок точности кажется просто голословным. Я не смог избавиться от слагаемого $\frac{a_{i+1} - a_i}{6}hu'''_i$, которое не дает получить второй порядок. При этом раскладывать $u_{i\pm1}$ только до $\mathcal{O}(h^3)$ также нельзя, т.к. после деления на $h^2$ получаем $\mathcal{O}(h)$, из-за которого снова не получается второй порядок.
Либо я совсем тупой, либо это действительно ложное утверждение в классической книге.

Red_Herring
Я посмотрел Годунова, и там конечно прекрасная теория. Однако конкретных схем для задач с переменными коэффициентами я не смог найти.

Я не понимаю момента, где ломается рассуждение. Вывод: если просто отбросить в разложении слагаемые с $h^3$ и $\mathcal{O}(h^4)$ и подставлять без них, то все рассуждения совпадут. Однако вопрос о корректности такого действия так и остался не разрешенным

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгость при использовании O символики
Сообщение06.12.2019, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
ioleg19029700 в сообщении #1429068 писал(а):
Как теперь быть с $\frac{a_{i+1} - a_i}{6}hu'''_i$?
Я не особо вникал в детали, но вроде бы есть условие $\frac{a_{i + 1} - a_i}{h} = k'_i + O(h^2)$. Если $k'_i$ и $u'''_i$ ограничены, от из этого следует что $\frac{a_{i+1} - a_i}{6}hu'''_i = O(h^2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгость при использовании O символики
Сообщение06.12.2019, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536

(Оффтоп)

$\displaystyle O, \ \displaystyle o$

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгость при использовании O символики
Сообщение06.12.2019, 18:26 


21/12/16
73
mihaild

И правда, $\frac{a_{i+1}-a_i}{6}hu'''_i = \frac{a_{i+1}-a_i}{6h}h^2u'''_i$! Тогда из этой формы легко видеть то, что вы написали. Большое Вам спасибо! Это то самое условие, что я искал. Как всегда по-невнимательности упустил столь важную деталь. Ещё раз спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group