Положительная определённость подматрицы

[vpb]

Внесу и я 5 коп.

Симметрической матрице соответствует квадратичная форма. То, что матрица положительно определена --- это по определению значит, что значение формы всегда положительно (кроме случая, когда все $x_1=\ldots=x_n=0$ ). Если положить $x_{i_1}=x_{i_2}=\ldots=x_{i_l}=0$, то получится форма от оставшихся $x_i$. У нее всегда значения, конечно, тоже положительны. А матрица ее, понятно, получается из исходной вычеркиванием строк и столбцов с номерами $i_1, i_2, \ldots, i_l$. Вот и всё, как бы.

И у положительно определенной матрицы определитель $>0$. Действительно, невырожденным преобразованием переменных любая форма приводится к диагональному виду $\lambda_1x_1^2+\ldots+\lambda_nx_n^2$. При этом матрица $G$ меняется на $A^t G A$, где $A$ --- матрица преобразования (невырожденная). Значит, определитель умножается на положительное число. Форма же с диагональной матрицей, очевидно, положительно определена в точности тогда, когда все $\lambda_i$ положительны.

В заключение заметим, что, очевидно, ограничение положительно определенной формы на любое подпространство (не обязательно стандартное координатное) тоже положительно определено.