ММ183, A231074 и классы эквивалентности весовых функций

[maxal]

В Математическом Марафоне была задача ММ183, обобщения которой привели к добавлению двух последовательностей в OEIS:

kknop в сообщении #785519 писал(а):

VAL в сообщении #785473 писал(а):

А сейчас, пожалуйста: A231074 и A231085.

yadryara прав в том, что такого рода последовательности предполагают и обобщение на иное число слагаемых.
То бишь надо сразу сосчитать несколько первых членов для тройных сумм и тоже их занести в OEIS.

В связи с недавним вопросом на MO, хочу реанимировать обсуждение обобщений ММ183 и вышеупомянутых последовательностей в OEIS.

Вкратце вопрос на MO касается подсчёта классов эквивалентности весовых функций, определённых на множестве $S$ размера $n$ (т.е. функции из $S$ в $\mathbb{R}$) и распространённых по аддитивности на подмножества этого множества.
Весовые функции $f_1, f_2$ называются эквивалентными, если $f_1(T_1) \leq f_1(T_2) \Longleftrightarrow f_2(T_1) \leq f_2(T_2)$ для всех $T_1, T_2 \subseteq S$.

Если мы в определении эквивалентности ограничимся случаем $|T_1|=|T_2|=2$, то получается почти A231074. Дело в том, что всякий класс эквивалентности весовых функций задаёт некоторый нестрогий порядок на подмножествах размера 2, но этот порядок, похоже, может быть неединственным. А именно, если в классе все функции говорят, что веса $T_1$ и $T_2$ равны, то эти два множества могут идти друг за другом в любом порядке. И похоже, что такие классы существуют.
Другими словами, если обозначить через $e_2(n)$ количество таких классов эквивалентности, то $e_2(n)\leq \texttt{A231074}(n)$, и, скорее всего, неравенство становится строгим с ростом $n$.

Предлагаю:

• доказать, что $e_2(n) < \texttt{A231074}(n)$ для достаточно больших (каких?) $n$;
• вычислить $e_2(n)$ для маленьких $n$ и добавить как новую последовательность в OEIS.

P.S. A231074 также требует, чтобы веса всех элементов $S$ были различны, что может не выполняться в общем случае.