2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диагонализация гамильтониана
Сообщение28.11.2019, 22:35 


27/11/19
23
Москва
Задача из книги Боголюбова "Квантовые поля". Там серия задач, где нужно провести диаганализацию гамильтониана и построить собственные состояния сначала из операторов нового представления потом из операторов старого, вот одна из них:

$\mathcal{H}=\int\limits_{}^{}\omega(\vec{k})a^+(\vec{k})a(\vec{k})d\vec{k}+\int\limits_{}^{}g(\vec{k}^2)(a^+(-\vec{k})+a(\vec{k}))$,

где $a^+(\vec{k}), a(\vec{k})$ - операторы рождения и уничтожения бозе-частиц: $[a(\vec{k});a^+(\vec{q})]=\delta(\vec{k}-\vec{q})$.

Насколько я понял, диагонализовать его не нужно, смешанных членов тут и нет. Вопросы вызывает часть с одиночными операторами рождения и уничтожения. Третье слагаемое будет порождать состояние на уровень ниже, а слагаемое с обратным импульсом на уровень выше. Могут ли вообще у такого гамильтониана быть собственные состояния, ведь операторы должны в него входить парами? Значит ли это, что модель с таким гамильтонианом нерешаема или я что-то упускаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация гамильтониана
Сообщение29.11.2019, 14:19 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Его нужно диагонализировать, поскольку он не диагонален. Например, $\Big(\langle 0  |  \Big)\mathcal H \left(a^+(\vec k) | 0 \rangle \right) \neq 0$.

DismasK в сообщении #1428084 писал(а):
ведь операторы должны в него входить парами?
Откуда взялось такое ограничение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация гамильтониана
Сообщение29.11.2019, 16:49 


27/11/19
23
Москва
warlock66613 в сообщении #1428143 писал(а):
Его нужно диагонализировать, поскольку он не диагонален. Например, $\Big(\langle 0  |  \Big)\mathcal H \left(a^+(\vec k) | 0 \rangle \right) \neq 0$.

DismasK в сообщении #1428084 писал(а):
ведь операторы должны в него входить парами?
Откуда взялось такое ограничение?

Одиночные операторы приведут к изменению состояния и не получим собственный вектор:

$\mathcal{H}=\int\limits_{}^{}g(\vec{k}^2)a(\vec{k})$

$\mathcal{H}\Psi_1=\int\limits_{}^{}g(\vec{k}^2)a(\vec{k})\Psi_1=\int\limits_{}^{}g(\vec{k}^2)a(\vec{k})a^+(\vec{q})\Psi_0=\int\limits_{}^{}g(\vec{k}^2)\delta(\vec{k}-\vec{q})\Psi_0=g(\vec{q}^2)\Psi_0$

Аналогично с $a^+(-\vec{k})$:

$\mathcal{H}\Psi_1=\int\limits_{}^{}g(\vec{k}^2)a^+(-\vec{k})\Psi_1=\int\limits_{}^{}g(\vec{k}^2)a^+(-\vec{k})a(\vec{q})\Psi_2=\int\limits_{}^{}g(\vec{k}^2)\delta(-\vec{k}-\vec{q})\Psi_2=g(\vec{q}^2)\Psi_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация гамильтониана
Сообщение29.11.2019, 18:26 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Ну, по крайней мере диагонализации это не мешает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация гамильтониана
Сообщение29.11.2019, 23:57 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
DismasK в сообщении #1428155 писал(а):
Одиночные операторы приведут к изменению состояния и не получим собственный вектор
Но ведь в гамильтониане не только член с одиночным оператором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация гамильтониана
Сообщение30.11.2019, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
DismasK в сообщении #1428084 писал(а):
Вопросы вызывает часть с одиночными операторами рождения и уничтожения.

1. Член $\int\limits_{}^{}d\mathbf{k}\,g(\vec{k}^2)a^+(-\vec{k})$ можно заменить на $\int\limits_{}^{}d\mathbf{k}\,g(\vec{k}^2)a^+(\vec{k})$
2. Вместо операторов $a$ можно ввести операторы $b$ по правилу $\hat{a}(k)=\hat{b}(k)+\eta(k),$ где $\eta$ - C-числовая функция (коммутирует с $\hat{b}$). Глядишь - после этого и полегчает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация гамильтониана
Сообщение02.12.2019, 19:17 


27/11/19
23
Москва
amon в сообщении #1428232 писал(а):
DismasK в сообщении #1428084 писал(а):
Вопросы вызывает часть с одиночными операторами рождения и уничтожения.

1. Член $\int\limits_{}^{}d\mathbf{k}\,g(\vec{k}^2)a^+(-\vec{k})$ можно заменить на $\int\limits_{}^{}d\mathbf{k}\,g(\vec{k}^2)a^+(\vec{k})$
2. Вместо операторов $a$ можно ввести операторы $b$ по правилу $\hat{a}(k)=\hat{b}(k)+\eta(k),$ где $\eta$ - C-числовая функция (коммутирует с $\hat{b}$). Глядишь - после этого и полегчает.


Да, все получилось, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация гамильтониана
Сообщение04.12.2019, 13:49 


27/11/19
23
Москва
warlock66613 в сообщении #1428179 писал(а):
Ну, по крайней мере диагонализации это не мешает.

amon в сообщении #1428232 писал(а):
DismasK в сообщении #1428084 писал(а):
Вопросы вызывает часть с одиночными операторами рождения и уничтожения.

1. Член $\int\limits_{}^{}d\mathbf{k}\,g(\vec{k}^2)a^+(-\vec{k})$ можно заменить на $\int\limitsd\mathbf{k}\,g(\vec{k}^2)a^+(\vec{k})$
2. Вместо операторов $a$ можно ввести операторы $b$ по правилу $\hat{a}(k)=\hat{b}(k)+\eta(k),$ где $\eta$ - C-числовая функция (коммутирует с $\hat{b}$). Глядишь - после этого и полегчает.


Насколько я понимаю, этот гамильтониан соответствует лагранжиану:

$\mathcal{L}=1/2(\partial\varphi(x))^2-\dfrac{m^2}{2}(\varphi(x))^2+g\rho(x)\varphi(x)$ $, где $\rho(x)$ - функция от $x$, а $\varphi(x)$ - поле.

Линейной подставкой такой лагранжиан у меня диагонализовать не получается, изменяя поле $\varphi=\varphi(x)+h(x)$, где $h(x)=\frac{-g}{m^2}$\rho(x)$, то удается сократить член $g\rho(x)\varphi(x)$, но возникают члены вида $\partial\rho(x)\partial\varphi(x)$.

Может ли быть такое, что гамильтониан диагонализовать можно, а лагранжиан нет? Или я где-то сделал ошибку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация гамильтониана
Сообщение04.12.2019, 14:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
DismasK в сообщении #1428813 писал(а):
Может ли быть такое, что гамильтониан диагонализовать можно, а лагранжиан нет?
Попробуйте из Вашего лагранжиана получить что-то вроде $$\mathcal{L}=\int\limits_{}^{}\omega(\vec{k})a^+(\vec{k})a(\vec{k})d\vec{k}+\int\limits_{}^{}d\vec{k}\,g(\vec{k}^2)(a^+(\vec{k})+a(\vec{k}))$$и задача диагонализации сведется к предыдущей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group