2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 16:16 


14/09/16
286
Здравствуйте, На глаза попался следующий пример
$\ln y'=\frac{x}{y'}+1$
К какому типу относится? и как решается? в книге Эльсгольца они есть?.
Приведу свои попытки решения.
я делал следующее.
$\ln y'=\frac{x}{y'}+1$

$\ln y'=\frac{x+y'}{y'}$

$y' \ln y'=x+y'$

$y' (\ln y'-1)=x$
на этом этапе, предполагаю, что надо сделать замену, только какую?

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2344
МО
$y$-а нет. Соответственно, имеем симметрию - сдвиг по $y$, $y \rightarrow y + a$, или, в инфинитезимальном виде $\frac{\partial}{\partial y}$.
Значит, у уравнения можно явно записать интегрирующий множитель и выписать ответ в форме контурного интеграла (формулу не помню, есть в нижечке Ибрагимова, Азбука группового анализа).

(Оффтоп)

Вечер, туплю, ничего умнее в голову не приходит ;(

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 17:10 
Заслуженный участник


25/02/11
1800
Продифференцировать последнее уравнение, получится $y''\ln y'=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 17:34 
Заслуженный участник


13/12/05
4627
Ivan 09 в сообщении #1428574 писал(а):
следующий пример
$\ln y'=\frac{x}{y'}+1$
К какому типу относится?

Смотрите уравнения, не разрешенные относительно производной. Частный случай $x=f(y')$.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 17:44 


11/07/16
825
Команда Мэйпла
Код:
DEtools:-odeadvisor(log(diff(y(x), x)) = x/diff(y(x), x) + 1);
[_quadrature]

классифицирует это ОДУ, как решаемое в квадратурах. Мэйпл находит его общее решение через функцию Ламберта. Производная выражается из ОДУ через функцию Ламберта, получается ОДУ с разделяющимися переменными, причем интеграл находится в явном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 17:59 
Заслуженный участник


13/12/05
4627
Markiyan Hirnyk в сообщении #1428586 писал(а):
классифицирует это ОДУ, как решаемое в квадратурах
Гладко было на бумаге, да забыли про овраги. Для этого $y'$ сначала выразить надо.
Markiyan Hirnyk в сообщении #1428586 писал(а):
Мэйпл находит его общее решение через функцию Ламберта
С функцией Ламберта любой дурак сможет.

Короче, не давайте неправильных советов в учебном разделе.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 18:20 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Pphantom в сообщении #1291248 писал(а):
 !  Markiyan Hirnyk, во избежание очередного повторения одной и той же ситуации:
1) Месячный бан за очередную рекламу матпакетов в теме, в которой это очевидно неуместно.
2) Вам запрещается приводить результаты, полученные с использованием математических пакетов, в темах, в которых автор темы явно не упомянул, что решение такого рода допустимо.
 !  Бан на месяц был (и не один), бан на два месяца был, теперь, стало быть, Markiyan Hirnyk - бан на три месяца.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 19:18 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Ivan 09 в сообщении #1428574 писал(а):
вствуйте, На глаза попался следующий пример
$\ln y'=\frac{x}{y'}+1$
К какому типу отно

дифференцируем уравнение получаем получаем линейное неоднородное уравнение второго порядка

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 19:23 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Vince Diesel в сообщении #1428582 писал(а):
получится $y''\ln y'=1$.

И, решая это уравнение, находим, блин, $y'(\ln y' - 1) = x +C$....
Padawan в сообщении #1428585 писал(а):
Частный случай $x=f(y')$.

Увы, получается параметрически задаваемое решение. А явно, типа, и не решается - как говорит великий и могучий М....

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 19:25 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
DeBill в сообщении #1428609 писал(а):
метрически задаваемое решение. А явно, типа, и не решается - как говорит великий и могучий

шутить изволите? банальная задача

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 19:39 
Заслуженный участник


13/12/05
4627
pogulyat_vyshel в сообщении #1428607 писал(а):
дифференцируем уравнение получаем получаем линейное неоднородное уравнение второго порядка

Нелинейное

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 19:42 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
ой да :facepalm:

-- 02.12.2019, 20:44 --

ну задача-то все равно банальная, как и где обращать функцию $x(p)= p\ln p-p$ ясно, так что...

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение02.12.2019, 20:13 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
DeBill в сообщении #1428609 писал(а):
Увы, получается параметрически задаваемое решение.

Можно получить решение в неявном виде. Сначала решаем в параметрическом виде:$$x=p\ln p-p, y=\dfrac {p^2}2\ln p-\frac 14p^2+C=\frac {px}2+\frac 14p^2+C$$ И параметр выражается таки через $x$ и $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение03.12.2019, 07:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2344
МО
Выпишу, все-таки, формулу.
Если $\xi(x,y)\frac{\partial}{\partial x} + \eta(x,y)\frac{\partial}{\partial y}$ оператор симметрии диффура $G(x,y)dx - F(x,y)dy = 0$, то $\frac{Gdx - Fdy}{G\xi - F\eta}$ полный дифференциал.
Пожалуй, в данном случае это если и не самое простое, то точно самое короткое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение с производной под логарифмом
Сообщение03.12.2019, 07:42 
Заслуженный участник


13/12/05
4627
пианист в сообщении #1428678 писал(а):
диффура $G(x,y)dx - F(x,y)dy = 0$

А что у нас здесь $G(x,y)$ и $F(x,y)$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group