дифференциальное уравнение с производной под логарифмом

[Ivan 09]

Здравствуйте, На глаза попался следующий пример
$\ln y'=\frac{x}{y'}+1$
К какому типу относится? и как решается? в книге Эльсгольца они есть?.
Приведу свои попытки решения.
я делал следующее.
$\ln y'=\frac{x}{y'}+1$

$\ln y'=\frac{x+y'}{y'}$

$y' \ln y'=x+y'$

$y' (\ln y'-1)=x$
на этом этапе, предполагаю, что надо сделать замену, только какую?

[пианист]

$y$-а нет. Соответственно, имеем симметрию - сдвиг по $y$, $y \rightarrow y + a$, или, в инфинитезимальном виде $\frac{\partial}{\partial y}$.
Значит, у уравнения можно явно записать интегрирующий множитель и выписать ответ в форме контурного интеграла (формулу не помню, есть в нижечке Ибрагимова, Азбука группового анализа).

(Оффтоп)

Вечер, туплю, ничего умнее в голову не приходит ;(

[Vince Diesel]

Продифференцировать последнее уравнение, получится $y''\ln y'=1$.

[Padawan]

Ivan 09 в сообщении #1428574 писал(а):

следующий пример
$\ln y'=\frac{x}{y'}+1$
К какому типу относится?

Смотрите уравнения, не разрешенные относительно производной. Частный случай $x=f(y')$.

[Markiyan Hirnyk]

Команда Мэйпла

DEtools:-odeadvisor(log(diff(y(x), x)) = x/diff(y(x), x) + 1);
[_quadrature]

классифицирует это ОДУ, как решаемое в квадратурах. Мэйпл находит его общее решение через функцию Ламберта. Производная выражается из ОДУ через функцию Ламберта, получается ОДУ с разделяющимися переменными, причем интеграл находится в явном виде.

[Padawan]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1428586 писал(а):

классифицирует это ОДУ, как решаемое в квадратурах

Гладко было на бумаге, да забыли про овраги. Для этого $y'$ сначала выразить надо.

Markiyan Hirnyk в сообщении #1428586 писал(а):

Мэйпл находит его общее решение через функцию Ламберта

С функцией Ламберта любой дурак сможет.

Короче, не давайте неправильных советов в учебном разделе.

[Pphantom]

Pphantom в сообщении #1291248 писал(а):

Markiyan Hirnyk, во избежание очередного повторения одной и той же ситуации:
1) Месячный бан за очередную рекламу матпакетов в теме, в которой это очевидно неуместно.
2) Вам запрещается приводить результаты, полученные с использованием математических пакетов, в темах, в которых автор темы явно не упомянул, что решение такого рода допустимо.

Бан на месяц был (и не один), бан на два месяца был, теперь, стало быть, Markiyan Hirnyk - бан на три месяца.

[pogulyat_vyshel]

Ivan 09 в сообщении #1428574 писал(а):

вствуйте, На глаза попался следующий пример
$\ln y'=\frac{x}{y'}+1$
К какому типу отно

дифференцируем уравнение получаем получаем линейное неоднородное уравнение второго порядка

[DeBill]

Vince Diesel в сообщении #1428582 писал(а):

получится $y''\ln y'=1$.

И, решая это уравнение, находим, блин, $y'(\ln y' - 1) = x +C$....

Padawan в сообщении #1428585 писал(а):

Частный случай $x=f(y')$.

Увы, получается параметрически задаваемое решение. А явно, типа, и не решается - как говорит великий и могучий М....

[pogulyat_vyshel]

DeBill в сообщении #1428609 писал(а):

метрически задаваемое решение. А явно, типа, и не решается - как говорит великий и могучий

шутить изволите? банальная задача

[Padawan]

pogulyat_vyshel в сообщении #1428607 писал(а):

дифференцируем уравнение получаем получаем линейное неоднородное уравнение второго порядка

Нелинейное

[pogulyat_vyshel]

ой да

-- 02.12.2019, 20:44 --

ну задача-то все равно банальная, как и где обращать функцию $x(p)= p\ln p-p$ ясно, так что...

[mihiv]

DeBill в сообщении #1428609 писал(а):

Увы, получается параметрически задаваемое решение.

Можно получить решение в неявном виде. Сначала решаем в параметрическом виде:

$$x=p\ln p-p, y=\dfrac {p^2}2\ln p-\frac 14p^2+C=\frac {px}2+\frac 14p^2+C$$

И параметр выражается таки через $x$ и $y$.

[пианист]

Выпишу, все-таки, формулу.
Если $\xi(x,y)\frac{\partial}{\partial x} + \eta(x,y)\frac{\partial}{\partial y}$ оператор симметрии диффура $G(x,y)dx - F(x,y)dy = 0$, то $\frac{Gdx - Fdy}{G\xi - F\eta}$ полный дифференциал.
Пожалуй, в данном случае это если и не самое простое, то точно самое короткое решение.

[Padawan]

пианист в сообщении #1428678 писал(а):

диффура $G(x,y)dx - F(x,y)dy = 0$

А что у нас здесь $G(x,y)$ и $F(x,y)$?