Теорема Брауэра о неподвижной точке

[Janine]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста с решением задач по теореме Брауэра.

Формулировка: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Нужно доказать эту теорему для одномерного случая в разных вариантах:

Задача 1. Пусть отрезок [-1,1] перешел в себя. Существует ли в этом случае неподвижная точка?
Задача 2. Пусть отрезок [-1,1] также отобразился в себя, но не весь целиком (т.е. какие-то точки "вылезли" за концы), но точно известно, что точки -1 и 1 попали внутрь (не "вылезли" наружу). Существует ли здесь неподвижная точка?
Задача 3. Условие задачи 2, но -1 и 1 "вылезли" : новая точка -1 оказалась слева от старой точки -1, а новая точка 1 оказалась справа от старой точки 1. Вопрос тот же - существует ли неподвижная точка?

Решение первой задачи.
Пусть

$$f$$

- непрерывная функция,

$$f: [-1,1] \rightarrow [-1,1]$$

. Тогда

$$\exists x^{*}: f(x^{*}) = x^{*}$$

.
Очевидно,

$$f(-1)>-1$$

и

$$f(1) < 1$$

.
Рассмотрим функцию

$$\varphi: [-1,1] \rightarrow R$$

,

$$\varphi(x) = f(x)-x$$

.
Она удовлетворяет условиям:

$$\varphi(1) < 0$$

,

$$\varphi(-1) > 0$$

, таким образом, по теореме о среднем, существует точка

$$x^{*}$$

, такая, что

$$\varphi(x) = 0$$

, то есть

$$f(x^{*}) = x^{*}$$

.


Вроде бы решение верное... Есть ли какие-то недочеты в решении первой задачи? И как можно решить вторую и третью задачи?

Заранее спасибо.

[Профессор Снэйп]

Недочёты есть. Вместо строгих неравенств должны быть нестрогие.

Вторая и третья задачи сводятся к первой.

[Janine]

То есть во второй задаче растяжением, а в третьей - сжатием переходим к задаче 1 (отрезку с концами -1 и 1)? Как-то слишком просто...

[Marika]

Ну да, вроде так и надо - здесь же разрешены растяжение, сжатие, поворот...