2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Теорема Брауэра о неподвижной точке
Сообщение06.09.2008, 12:27 
Здравствуйте! Помогите пожалуйста с решением задач по теореме Брауэра.

Формулировка: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Нужно доказать эту теорему для одномерного случая в разных вариантах:

Задача 1. Пусть отрезок [-1,1] перешел в себя. Существует ли в этом случае неподвижная точка?
Задача 2. Пусть отрезок [-1,1] также отобразился в себя, но не весь целиком (т.е. какие-то точки "вылезли" за концы), но точно известно, что точки -1 и 1 попали внутрь (не "вылезли" наружу). Существует ли здесь неподвижная точка?
Задача 3. Условие задачи 2, но -1 и 1 "вылезли" : новая точка -1 оказалась слева от старой точки -1, а новая точка 1 оказалась справа от старой точки 1. Вопрос тот же - существует ли неподвижная точка?

Решение первой задачи.
Пусть $$f$$ - непрерывная функция, $$f: [-1,1] \rightarrow [-1,1]$$. Тогда $$\exists x^{*}: f(x^{*}) = x^{*}$$.
Очевидно, $$f(-1)>-1$$ и $$f(1) < 1$$.
Рассмотрим функцию $$\varphi: [-1,1] \rightarrow R$$, $$\varphi(x) = f(x)-x$$.
Она удовлетворяет условиям: $$\varphi(1) < 0$$, $$\varphi(-1) > 0$$, таким образом, по теореме о среднем, существует точка $$x^{*}$$, такая, что $$\varphi(x) = 0$$, то есть $$f(x^{*}) = x^{*}$$.


Вроде бы решение верное... Есть ли какие-то недочеты в решении первой задачи? И как можно решить вторую и третью задачи?

Заранее спасибо.

 
 
 
 
Сообщение06.09.2008, 15:30 
Аватара пользователя
Недочёты есть. Вместо строгих неравенств должны быть нестрогие.

Вторая и третья задачи сводятся к первой.

 
 
 
 
Сообщение06.09.2008, 21:07 
То есть во второй задаче растяжением, а в третьей - сжатием переходим к задаче 1 (отрезку с концами -1 и 1)? Как-то слишком просто...

 
 
 
 
Сообщение08.09.2008, 08:54 
Ну да, вроде так и надо - здесь же разрешены растяжение, сжатие, поворот...

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group