Парадокс обмена

[EUgeneUS]

Лукомор в сообщении #1428281 писал(а):

Действительно, при последовательной выдаче конвертов по одному,
один любой отдельно взятый одиночный раунд выгоден первому игроку

В данном случае - в сценарии, который обсуждаем, раскладка выгодна второму игроку ($Y$). Первому игроку ($X$) выгоден обмен.
Но в общем случае этого (выдача конвертов "по одному") недостачно. Можно придумать и такую процедуру, которая не будет выгодна какому-то игроку.

Лукомор в сообщении #1428281 писал(а):

И это уже никакой не софизм, а самый настоящий парадокс, в котором формула мат.ожидания: "два раза плюс пол-раза пополам", от раунда к раунду нам врет, добавляя от себя 25% к истинному значению суммы в конверте оппонента.

Не от раунда к раунду, а только в некоторых, специально отобранных раундах.
Нерепрезентативная выборка называется.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1428291 писал(а):

В данном случае - в сценарии, который обсуждаем, раскладка выгодна второму игроку ($Y$). Первому игроку ($X$) выгоден обмен.

При любом сценарии обмен выгоден обоим игрокам.

Я вам больше скажу, более выгоден обмен тому игроку, у которого денег больше.
Просто потому, что мат.ожидание для противоположного конверта пропорционально количеству денег в Вашем конверте.
Действительно, пусть у меня 100 рублей, а у Вас 200 рублей.
Мое мат.ожидание количества денег в Вашем конверте 125 рублей,
Ваше мат. ожидание денег в моем конверте 250 рублей.
Поэтому Вам меняться в два раза выгоднее чем мне.
Меняемся?

[--mS--]

(Оффтоп)

Лукомор в сообщении #1428281 писал(а):

но я нигде не встречал ни одного упоминания о возможности смещенной оценки мат.ожидания.

Да неужели? $7\overline X$, $\overline X+3$, $13$, $\overline{X^2}$, $S^2$, $\frac12-\overline X$ и миллионы всяких иных - всё в основном смещенные оценки матожидания.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1428291 писал(а):

Не от раунда к раунду, а только в некоторых, специально отобранных раундах.
Нерепрезентативная выборка называется.

Вот и я о том же!
Когда в одном раунде мы традиционно рассматриваем пару раскладов
$X\to 2X$ и $X\to X/2$ то эта выборка будет репрезентативной только на очень ограниченных $X_i$, и при существенно большем количестве раундов $n>>i$.
В этом случае действительно выборка пары $X\to 2X$ и $2X\to X$ будет нерепрезентативной.
При достаточно больших $i$ когда $i>>n$ вероятность того , что нам реально встретится и вариант $X\to 2X$ и $X\to X/2$ мала, и уже эта выборка является нерепрезентативной, и наоборот, репрезентативной будет уже выборка $X\to 2X$ и $2X\to X$, поскольку при достаточно больших $n$ почти вся серия распадется на такие пары.
Так что это все пустые разговоры.
Я Вам больше скажу.
Если из списка возможных значений, которые может принимать величина $X$ - количество денег в первом конверте, после каждого раунда аккуратно вычеркивать отыгранное в данном раунде $X_i$, то варианты $X\to 2X$ и $X\to x/2$ становятся взаимо--исключающими, а варианты $X\to 2X$ и $2X\to X$, наоборот, взаимо--дополняющими. Тогда для первого игрока $M[Y] = (2X+X)/2 = 3X/2$, для второго $M[X] = (Y + 2Y)/2 = (2X + X)/2 = 3X/2$.
Такая конструкция представляется мне более адекватной, нежели "два раза плюс пол-раза пополам".

-- Вс дек 01, 2019 07:49:37 --

--mS-- в сообщении #1428381 писал(а):

всё в основном смещенные оценки матожидания.

Прекрасно!
Тогда у меня к Вам вопрос.
Я знаю формулу перехода от смещенной оценки дисперсии к несмещенной.
$S^2=\dfrac{1}{n-1}S_{n}^{2}$.
А как тогда будет выглядеть аналогичная формула перехода от смещенной оценки матожидания к несмещенной?

[EUgeneUS]

Лукомор в сообщении #1428384 писал(а):

Тогда для первого игрока $M[Y] = (2X+X)/2 = 3X/2$, для второго $M[X] = (Y + 2Y)/2 = (2X + X)/2 = 3X/2$.
Такая конструкция представляется мне более адекватной, нежели "два раза плюс пол-раза пополам".

Извините, но ничего адекватного в этих записях не вижу.
И вот почему.
1. Большими буквами обозначаются случайные величины. Это довольно таки специфичные объекты. Вот как они определяются в википедии (в учебниках, наверное, можно более адекватные определения найти):

Цитата:

Формальное математическое определение следующее: пусть $\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} $ — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция $ X\colon \Omega \to \mathbb {R} $, измеримая относительно $ {\mathcal {F}}$ и борелевской $\sigma$-алгебры на $ \mathbb {R} $. Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом[6]. Функция $ X\colon \Omega \to \mathbb {R} $ называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел $a$ и $b$ множество событий $ \omega $, таких что $ X(\omega )\in (a,b)$, принадлежит $ {\mathcal {F}}$.

То есть случайная величина - это специфическая функция.

2. Мат. ожидание - это по сути оператор, который ставит в соответствие случайной величине действительное число.

В Ваших записях приравнивается случайная величина (специфическая функция) и число (мат. ожидание). Что это означает - я не знаю.

[--mS--]

(Оффтоп)

Лукомор в сообщении #1428384 писал(а):

А как тогда будет выглядеть аналогичная формула перехода от смещенной оценки матожидания к несмещенной?

Никак не будет. С чего Вы взяли, что любую смещённую оценку можно исправить до несмещённой? Театр абсурда какой-то, и вся тема такова.

[Лукомор]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #1428386 писал(а):

С чего Вы взяли, что любую смещённую оценку можно исправить до несмещённой?

В этом и заключается весь ужас ситуации, в которую мы попали.
Если для дисперсии мы всегда, зная смещенную оценку, можем исправить ее, и, тем самым, найти несмещенную оценку дисперсии, или, по крайней мере, всегда можем сказать, что несмещенная оценка меньше смещенной, ( кроме случая $n = 2$),
то для мат. ожидания мы не только не можем найти несмещенную оценку, но даже не можем сказать, которая из этих оценок больше, смещенная или не смещенная...

[Otta]

Лукомор в сообщении #1428398 писал(а):

Если для дисперсии мы всегда, зная смещенную оценку, можем исправить ее, и, тем самым, найти несмещенную оценку дисперсии

Вы путаетесь в терминологии.
Есть понятие выборочной дисперсии $s^2=\frac 1n\sum(x_k-\bar x)^2$ - это смещенная оценка дисперсии.
Есть понятие исправленной выборочной дисперсии. Часто ее называют несмещенной, по той простой причине, что она является несмещенной оценкой дисперсии.
Но несмещенных оценок можно придумать целую кучу. Достаточно, чтобы матожидание оценки не было равно истинному значению дисперсии. А случай неравенства, само собой, гораздо чаще встречается в жизни, чем случай равенства.

(Правда, при чем тут ужас ситуации, не прониклась. Обыденное явление. Ужас ситуации в чем-то другом...)

[Лукомор]

Otta в сообщении #1428402 писал(а):

Правда, при чем тут ужас ситуации, не прониклась. Обыденное явление.

Явление-то, видимо, обыденное.
Ужас в том, что про существование смещенной оценки дисперсии я знал.
Про смещенную оценку мат.ожидания я узнал только намедни, когда --mS-- просветила моё невежество.
Однако оказалось, что в отличие от дисперсии, смещенную оценку которой можно исправить до несмещенной,
для смещенной оценки мат.ожидания случайной величины такой фокус не проходит.
Зная, что оценка мат.ожидания случайной величины смещенная, мы не только не можем найти несмещенную оценку мат.ожидания случайной величины, но даже не можем сказать, в большую или в меньшую сторону смещена смещенная оценка мат.ожидания случайной величины, поскольку не знаем, относительно какого истинного значения она смещена.
В этом я усматриваю ужас сложившейся ситуации.

[Otta]

Лукомор в сообщении #1428408 писал(а):

Однако оказалось, что в отличие от дисперсии, смещенную оценку которой можно исправить до несмещенной,

Еще раз: это путаница в терминологии. Вы называете несмещенной оценкой дисперсии строго одну статистику.
А их бесконечно много.
----
У любого параметра есть смещенные оценки. Берите наобум любую статистику - с вероятностью 1 она будет смещенной оценкой конкретного параметра.

-- 01.12.2019, 16:02 --

Лукомор в сообщении #1428408 писал(а):

Однако оказалось, что в отличие от дисперсии, смещенную оценку которой можно исправить до несмещенной,

У Васи есть функция $f(x)$. Он Вам не говорит, какая. А Вы уже посчитали несмещенную оценку дисперсии $s^2$.
Вася применяет к ней свою секретную функцию. Получается какое-то значение $f(s^2)$. Вам он это значение не отдает. Правьте до несмещенной обратно. Хотя бы угадайте, в какую сторону править, в большую или меньшую.

Чем Вам не задача о двух конвертах?

[--mS--]

(Оффтоп)

Лукомор в сообщении #1428384 писал(а):

Я знаю формулу перехода от смещенной оценки дисперсии к несмещенной.
$S^2=\dfrac{1}{n-1}S_{n}^{2}$.

Нет, не знаете. $S^2=\frac{n}{n-1}S_n^2$, если справа смещённая, слева несмещённая дисперсии.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1428385 писал(а):

Большими буквами обозначаются случайные величины.

"Я художник... я так вижу!"

-- Вс дек 01, 2019 16:28:25 --

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #1428436 писал(а):

Нет, не знаете.

Ой, всё! Одну буковку пропустил, и всего-то делов!
К тому же вопрос заключался в другом, и я уже разобрался самостоятельно.
Спасибо за разъяснительную работу, Ваши сообщения подтолкнули мои размышления в правильное русло.

-- Вс дек 01, 2019 16:36:32 --

Otta в сообщении #1428410 писал(а):

А Вы уже посчитали несмещенную оценку дисперсии $s^2$.

Я, как обычно, не смог правильно задать вопрос.
Ведь чтобы задать правильно вопрос, нужно знать половину ответа, как говорят.
А я знал весь ответ, поэтому напутал в вопросе.
Разумеется речь шла именно о выборочной дисперсии.
О той, для которой формула, в которой я тоже напутал...
В любом случае, спасибо, я уже разобрался с этим моментом.

[Лукомор]

И, всё-таки:
почему менять большую сумму на меньшую,
в среднем,
в два раза выгоднее,
чем меньшую сумму на большую?

[Лукомор]

Я нашел, как объяснить причину возникновения парадокса в этой задаче.
Подскажите, пожалуйста, как можно вставить картинку в сообщение?

[Connector]

Лукомор в сообщении #1428648 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как можно вставить картинку в сообщение?

Лукомор, смотрите эту тему.

(Оффтоп)

Подходит любой фотохостинг, достаточно ужать изображение до 800 пикселей в ширину (что позволяют сделать многие программы — графические редакторы, загрузить на хостинг, скопированную ссылку поместить в тег [img].