Тригонометрия - упростить

[Pripyat]

Добрый день, возникли проблемы с упрощением тригонометрических выражений:

Цитата:

1. Избавиться от иррациональности $\sqrt{\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos x}}$ при $x \in [-2\pi; -\pi]$

Решаю так:

$\sqrt{\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos x}} = \sqrt{\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \cos x}{2}}} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left\lvert \cos \frac{x}{2}\right\rvert} = \sqrt{\frac{1}{4}\left( 1 + 2 \left\lvert \cos \frac{x}{2}\right\rvert \right)} = \frac{1}{2}\cdot\sqrt{1 + 2 \left\lvert \cos \frac{x}{2}\right\rvert}$.

Так как $x \in [-2\pi; -\pi]$, то $\frac{x}{2} \in [-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ и $\left\lvert \cos \frac{x}{2}\right\rvert = - \cos \frac{x}{2}$. Тогда имеем выражение $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1 - 2 \cos \frac{x}{2}}$. От последнего корня мне избавиться не удаётся. Не было бы там двойки - можно было воспользоваться чем то вроде $1 + \sin x = \left( \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2 $. Подскажите пожалуйста правильный путь. Спасибо.

Также имеется проблема с номером:

Цитата:

2. $\frac{1}{2\sin 80^{\circ} } + 2 \cos 20 ^{\circ}$

Решаю так:
$\frac{1}{2\sin 80^{\circ} } + 2 \cos 20 ^{\circ} = \frac{\cos 80^{\circ}}{2\sin 80^{\circ} \cos 80^{\circ}} - 2 \cos 160 ^{\circ} = \frac{\cos 80^{\circ}}{\sin 160^{\circ}} - 2 \cos 160 ^{\circ} = \frac{\cos 80^{\circ} - 2\sin 160^{\circ} \cos 160^{\circ}} {\sin 160^{\circ}} = \frac{\cos 80^{\circ} - \sin 320^{\circ}} {\sin 160^{\circ}} = \frac{\sin 10^{\circ} - \sin (-40^{\circ})} {\sin 20^{\circ}} = \frac{\sin 10^{\circ} + \sin 40^{\circ}} {\sin 20^{\circ}}$.

Далее, к сожалению, формула суммы синусов не помогла: $\frac{\sin 10^{\circ} + \sin 40^{\circ}} {\sin 20^{\circ}} = \frac{2 \sin 25^{\circ} \cos 15^{\circ} } {\sin 20^{\circ}}$.
Прошу Вашего совета. Спасибо

[TOTAL]

Pripyat в сообщении #1427897 писал(а):

Далее, к сожалению, формула суммы синусов не помогла

Чему не помогла, что надо было достичь?

[worm2]

Pripyat в сообщении #1427897 писал(а):

Цитата:

1. Избавиться от иррациональности...

Подскажите пожалуйста правильный путь.

В этом пункте вы сделали всё, что можно. Дальше продвинуться нельзя.

[nnosipov]

Pripyat в сообщении #1427897 писал(а):

$\frac{1}{2\sin 80^{\circ} } + 2 \cos 20 ^{\circ}$

На всякий случай: это число является алгебраической иррациональностью 6-й степени. Что автор(ы) задачи понимает под словом "упростить", нуждается в уточнении.

Каков первоисточник данных задач?

[Pripyat]

Спасибо большое за ответы.

TOTAL в сообщении #1427915 писал(а):

Pripyat в сообщении #1427897 писал(а):

Далее, к сожалению, формула суммы синусов не помогла

Чему не помогла, что надо было достичь?

nnosipov в сообщении #1427920 писал(а):

Pripyat в сообщении #1427897 писал(а):

$\frac{1}{2\sin 80^{\circ} } + 2 \cos 20 ^{\circ}$

На всякий случай: это число является алгебраической иррациональностью 6-й степени. Что автор(ы) задачи понимает под словом "упростить", нуждается в уточнении.

Каков первоисточник данных задач?

Это школьная задача для 10 класса из семестровой работы. Подобные задачи во всех прочих вариантах имеют обычное рациональное число, а все "некрасивые" синусы и косинусы полностью сокращались после применения тригонометрических формул, приведения и т.п. Здесь же я не могу избавиться от тригонометрии. Если бы я мог взять $\sin 10 ^{\circ}$ или $\cos 10 ^{\circ}$, то в результате выразил бы через жуткие корни и всё остальное. Но при их нахождении получаю какое-то жуткое кубическое уравнение, решить его не могу.

[nnosipov]

Pripyat в сообщении #1427923 писал(а):

Подобные задачи во всех прочих вариантах имеют обычное рациональное число, а все "некрасивые" синусы и косинусы полностью сокращались после применения тригонометрических формул, приведения и т.п.

В Вашем варианте в ответе точно не может быть ни рационального числа, ни, скажем, квадратичной иррациональности. Скорее всего, в условии опечатка (или при составлении задачи была допущена ошибка).

[EUgeneUS]

Pripyat
Во втором случае всё весьма симпатично выражается через косинус десяти градусов.

[nnosipov]

EUgeneUS в сообщении #1427927 писал(а):

весьма симпатично выражается через косинус десяти градусов

Например, так:

$$ 2\cos{20^\circ}+\frac{1}{2\sin{80^\circ}}=\frac{t^5}{3}-2t^3+t^2+3t-2, \quad t=2\cos{10^\circ}. $$

Авторам таких учебных задач (на упрощение исходного выражения) нужно быть очень аккуратными с формулировками.

[EUgeneUS]

nnosipov

У меня получилось так: $1 + \frac{A}{t}$
Где $A$ - действительное число с квадратичной иррациональностью, $t$ - такое же, как у Вас.

nnosipov в сообщении #1427932 писал(а):

Авторам таких учебных задач (на упрощение исходного выражения) нужно быть очень аккуратными с формулировками.

Это да.

[nnosipov]

EUgeneUS в сообщении #1427938 писал(а):

$A$ - действительное число с квадратичной иррациональностью

Такие числа $A$ обычно и называют квадратичными иррациональностями (корни квадратных уравнений с целыми коэффициентами). Вот такая задача была бы, на мой взгляд, разумной: доказать равенство

$$ 2\cos{20^\circ}+\frac{1}{2\sin{80^\circ}}=1+\frac{1+\sqrt{3}}{2\cos{10^\circ}}. $$

По крайней мере, домысливать формулировку не надо.

[Pripyat]

Спасибо всем большое за помощь!