Параболическое уравнение с нелинейным граничным условием

[demolishka]

Рассмотрим параболическую задачу в области $(t,x) \in (0,T) \times (0,1)$ с нелинейным граничным условием (остывающий сам по себе стержень подогревается с правого конца в зависимости от средней температуры; при этом возможны некоторые колебания, зависящие от времени):
\begin{equation}\begin{split}&u_{t}=\alpha u_{xx} - \beta u +f(t,x),\\ &u_{x}(t,0)=0, u_{x}(t,1)=-g\left(t,\int\limits_{0}^{1} u(t,x)dx\right)\end{split} \end{equation}
где $\alpha,\beta>0$, $f(t,x)$ и $g(t,\upsilon)$ непрерывные и достаточно гладкие, $g$ монотонна по второй переменной: $0 \leq \frac{d}{d\upsilon}g'(t,\upsilon) \leq \mu_{0} < +\infty$ при всех $t \in \mathbb{R}, \upsilon \in \mathbb{R}$. Будем также считать, что $f$ и $g$ имеют период $\sigma$ по $t$.

Меня интересует корректность (существование, единственность решений задачи Коши $u(t_{0},x)=u_{0}(x)$, непрерывная зависимость от н. д. и продолжимость на бесконечный промежуток $[0,+\infty)$) в пространстве $L_{2}(0,1) \ni u_{0}$. Прошу помочь ссылками на литературу.

Наиболее близкая работа, которую мне удалось найти: Arrieta J. M., Carvalho A. N., Rodríguez-Bernal A. Attractors of parabolic problems with nonlinear boundary conditions. Uniform Bounds //Communications in Partial Differential Equations, 25, 1-37 (2000).
Ее недостатки для моих нужд:
1). Рассматривается только автономный случай. 2). Их граничное условие $\frac{d}{d\nu} u(x) = g(u(x))$ не допускает возможность использования средней температуры, а позволяет использовать только значение на концах стержня.

Множество других работ по нелинейным граничным задачам, которые не буду упоминать, также обладает недостатком 2), но к тому же еще зачастую рассматривает корректность не в $L_{2}$, а в каких-нибудь соболевских пространствах.

[Taus]

Возможно вам поможет такое соображение. Если проинтегрировать исходное уравнение по $0<x<1$, то можно получить нелинейной дифференциальное уравнение на среднюю температуру. А его уже можно свести к нелинейному уравнению Вольтерры.
Обозначим среднее функции $y(x, t)$ как $\bar{y}(t)$:

$$\bar{y}(t) = \int\limits_0^1 y(t,x) dx$$

Тогда после интегрирования по $x$ уравнение теплопроводности сводится к

$$\dot{\bar{u}} = -\alpha g(t,\bar{u}) - \beta \bar{u} + \bar{f}(t)$$

которое стандартным способом сводится к нелинейному уравнению Вольтерры

$$\bar{u}(t) = h(t) - \alpha\int\limits_0^t g(\tau, \bar{u}(t)) e^{-\beta(t-\tau)}d\tau, \quad h(t) = \bar{u}_0+ \int\limits_0^t \bar{f}(\tau) e^{\beta\tau}d\tau$$

[demolishka]

Taus в сообщении #1427299 писал(а):

Возможно вам поможет такое соображение.

Да, спасибо. Мне в лс то же самое посоветовали. После нахождения средней температуры можно рассматривать линейную неоднородную задачу с параболическим оператором. Корректность такой задачи имеется, например, у Лионса-Мадженеса.