Матричная структура числа возведённого в степень

[serval]

Ниже будут приведены матричные представления некоторых выражений, содержащих числа возведённые в степень. Для их записи удобно использовать бра-кет формализм.

Пусть все величины в рассматриваемых соотношениях принимают только натуральные значения, хотя это условие не является строгим.

Везде далее будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а числа - строчными.

Важно: все матрицы стоящие слева от знака $|$ (прямая вертикальная черта) являются транспонированными.

Для наглядности ограничимся случаем степени $n=2$ .

Обозначим:

$A= {\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 0&1&1\\ \end{pmatrix}}^a$

$N|=N^T= \begin{pmatrix} 0&1&2\\ 0&2&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}$

$\langle N |=\vec e^{\ 1} N^T \ ,\ \vec e^{\ 1}=(1,0,0\ldots)$ - бра-вектор, определяет показатель значения степени числа

$|A \rangle= A\ \vec e_1 \ , \vec e_1=(\vec e^{\ 1})^T$ - кет-вектор, определяет основание значения степени числа

Тогда следующие скалярные произведения, полученные при помощи указанных матриц, будут иметь значения:

$\langle N|A \rangle=a^n$

$\langle N|AB \rangle=\langle N|BA \rangle=(a+b)^n$

$\langle N|A^b \rangle=\langle N|B^a \rangle=(ab)^n$

$\langle B|N|B^{-1}A \rangle=\langle B^{-1}|N|BA \rangle=a^n-b^n$

Кроме того, имеет место свойство:

$N|A=N|+A'$

Прошу проверить.

[arseniiv]

Вообще говоря вы применили бра-кет-запись довольно бесполезным образом. Раз у вас произведения матриц окружены $\mathbf e^1\ldots\mathbf e_1$ одновременно с обеих сторон и никогда с одной, логичнее было бы ввести какие-нибудь скобочки для такого окружения, а не городить неканоническое отождествление матриц с бра и кетами.

Вот возьмём угловые: $\langle X\rangle := \mathbf e^1 X \mathbf e_1$. Теперь можно из всех ваших записей убрать вертикальные палки (кроме предпоследней, где видимо должно быть $N^T$?).

Далее, в последней записи

serval в сообщении #1418497 писал(а):

$N|A=N|+A'$

фигурирует неизвестная штука $A'$. Если это просто какая-то матрица, которая должна существовать для любых $N, A$, то это тривиально верно, потому что вычитание определено для всех матриц.

Наконец,

serval в сообщении #1418497 писал(а):

Для наглядности ограничимся случаем степени $n=2$ .

никакой наглядности не вышло, потому что вы не привели общих определений для $A, N$. Мало ли как они должны продолжаться с $n = 2$?

После этого можно будет понять, тривиально это или неверно.

-- Ср окт 02, 2019 00:50:25 --

Ах, $A'$ — это должна быть матрица того же вида, что и $A$, но для другого $a$?

Кстати говоря, можно было не возводить в степень $a$ прям там, а возводить позже, на месте использования. Тогда $AB$ превратится в $A^a A^b = A^{a+b}$, а $A^b$ — в $A^{ab}$, откуда видно, что тождества

serval в сообщении #1418497 писал(а):

$\langle N|A \rangle=a^n$
$\langle N|AB \rangle=\langle N|BA \rangle=(a+b)^n$
$\langle N|A^b \rangle=\langle N|B^a \rangle=(ab)^n$

должны выполняться или не выполняться одновременно.

[serval]

serval в сообщении #1418497 писал(а):

логичнее было бы ввести какие-нибудь скобочки для такого окружения

Я не считаю логичным изобретать новый формализм там, где можно кратко и наглядно применить уже существующий.

serval в сообщении #1418497 писал(а):

можно из всех ваших записей убрать вертикальные палки

Можно. Но они служат простой цели: наглядно разделить части, которые несут принципиально разный смысл – основания и показателя значения степени числа.

serval в сообщении #1418497 писал(а):

фигурирует неизвестная штука $A'$

Эта штука – аддитивная часть результата произведения именно таких матриц. Любые ли матрицы обладают этим свойством?

serval в сообщении #1418497 писал(а):

никакой наглядности не вышло, потому что вы не привели общих определений для $A, N$. Мало ли как они должны продолжаться с $n = 2$?

Не вышло, потому что вы не выполнили мою просьбу – не проверили верность соотношений простым перемножением приведённых мной матриц.
Для матрицы $A$ я привёл самое общее определение.
Матрица $N$ строится совершенно так же из похожей матрицы, из какой – привожу ниже.

arseniiv в сообщении #1418578 писал(а):

После этого можно будет понять, тривиально это или неверно.

Или верно. В чём легко убедиться простым перемножением матриц в указанном мной порядке.

serval в сообщении #1418497 писал(а):

$A'$ — это должна быть матрица того же вида, что и $A$, но для другого $a$?

Нет. Это матрица другого вида для того же $a$ . Не поленитесь перемножить матрицы и вы всё увидите.

serval в сообщении #1418497 писал(а):

можно было не возводить в степень $a$ прям там

Вы невнимательно прочли запись. Матрица $A$ это степень другой матрицы.
Я не хотел загромождать первый пост, но, раз возникла неясность, распишу подробнее:

$A=P_{1}^{a}= {\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix}}^a$

Матрица $N$ получается, после некоторых манипуляций выходящих за рамки данного материала, из матрицы

$P_{2}^{n}= {\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&2&0\\ 0&2&3 \end{pmatrix}}^n$

Как вы наверняка догадались, и название и нумерация не случайны – нижние треугольные ленточные матрицы $P_{1}$ и $P_{2}$ образованы 1-й и 2-й строками треугольника Паскаля соответственно, стоящими на главной диагонали и первой под ней.
Если не поленитесь вычислить результат скалярного произведения, то сможете непосредственно убедиться в его верности для любой заданной степени

$\langle P_{2}^{n}|P_{1}^{a-1} \rangle=a^n$

где $n$ нумеруется начиная с $0$, $a$ нумеруется начиная с $1$, матрицы имеют размерность $n+1$ .

[arseniiv]

serval в сообщении #1418603 писал(а):

Я не считаю логичным изобретать новый формализм там, где можно кратко и наглядно применить уже существующий.

Не новый формализм, а банально простенькое обозначение. И не все согласятся, что было кратко и наглядно.

serval в сообщении #1418603 писал(а):

Нет. Это матрица другого вида для того же $a$ .

Ну то есть это $X^a$ для какой-то $X$, так? Или нет?

serval в сообщении #1418603 писал(а):

Не вышло, потому что вы не выполнили мою просьбу – не проверили верность соотношений простым перемножением приведённых мной матриц.

Так вы хотите проверки в общем случае или в конкретно этом одном? Тогда не вижу, в чём проблема взять СКА и в ней удостовериться, если вы не доверяете своим выкладкам.

serval в сообщении #1418603 писал(а):

Вы невнимательно прочли запись. Матрица $A$ это степень другой матрицы.

Да, я так и прочитал, что она степень, но ту другую матрицу было бы нагляднее назвать, после чего эквивалентность трёх первых формул очевидна; если верна любая из них, верны все.

serval в сообщении #1418603 писал(а):

нижние треугольные ленточные матрицы $P_{1}$ и $P_{2}$ образованы 1-й и 2-й строками треугольника Паскаля соответственно, стоящими на главной диагонали и первой под ней

Не очень понимаю, какой смысл на пустом месте играть в загадки, почему нельзя было выписать матрицу для произвольного размера? Теперь я вижу, чем должны быть $P_1, P_2$, но вы так и не сказали про общий вид $N$.

-- Чт окт 03, 2019 00:43:03 --

(Вообще говоря поминать треугольник Паскаля, говоря о последовательностях $1, 1, \ldots, 1,\ldots$ и $1, 2, 3,\ldots, n,\ldots$ — лишняя обфускация, если вам хочется донести до кого-то какую-то мысль. Не все захотят искать в треугольнике диагонали.)

[serval]

Я прошу прощения за долгое молчание, отвлекся на матричную формализацию квадратного уравнения.

Я вернусь к истоку этого формализма, он более прозрачен, для этого переобозначу некоторые объекты. Для наглядности я ограничусь второй степенью и покажу как выглядит аналог квадратного уравнения. Будут использованы всего две матрицы и два вектора.

Для числа $k^n$ матрица $B$ (base) определяет его основание, а матрица $P$ (power) - его степень:

$B= \begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 1 &1 &0 \\ 0 &1 &1 \end{pmatrix}$

$P= \begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 1 &2 &0 \\ 0 &2 &3 \end{pmatrix}$

Векторы вырезают из результирующей матрицы левый верхний элемент:

$e_1=(1,\ 0,\ 0)$

$e^1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Тогда число $k^n$ в матричной записи будет иметь вид:

$k^n=e_1\ (P^T)^n\ B^{k-1}\ e^1$

Матрицы стоящие слева от вертикальной черты будем считать транспонированными, например $P^T=P|$

Обозначим:

$\langle P^2|=e_1\ (P^T)^2$ - вектор определяющий вторую степень

$|X\rangle=B^{x-1}\ e^1$ - вектор определяющий основание $x$

$I$ - единичная матрица

$(a+b),\ (ab)$ - числовые коэффициенты в квадратном уравнении

Тогда квадратное уравнение $(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab=0$ в матричной записи будет иметь вид равенства скалярных произведений:

$\langle P^2|((a+b)P^{-1}|-I)|X\rangle=\langle P^2|(ab)P^{-1}|I\rangle$

Таким образом удаётся понизить степень $x$ и отделить его от числовых коэффициентов.

Дальше нужно манипулировать различием корней $x_1$ и $x_2$ но как я ещё не знаю.

[serval]

Должен поправиться. "Понизить степень" в указанном формализме неверно передаёт смысл. Все степени $x$ находятся в матрице $B^{x-1}$ а матрица $(P^T)^n$ лишь транслирует их в верхний левый элемент результирующей матрицы.
Здесь матрица основания без явного указания матрицы степени вообще не имеет самостоятельного смысла, но является универсальной для любой степени. Это позволяет разделить основание и степень и манипулировать каждым параметром самостоятельно.