2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матричная структура числа возведённого в степень
Сообщение01.10.2019, 11:41 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Ниже будут приведены матричные представления некоторых выражений, содержащих числа возведённые в степень. Для их записи удобно использовать бра-кет формализм.

Пусть все величины в рассматриваемых соотношениях принимают только натуральные значения, хотя это условие не является строгим.

Везде далее будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а числа - строчными.

Важно: все матрицы стоящие слева от знака $|$ (прямая вертикальная черта) являются транспонированными.

Для наглядности ограничимся случаем степени $n=2$ .

Обозначим:

$A=
{\begin{pmatrix}
1&0&0\\
1&1&0\\
0&1&1\\
\end{pmatrix}}^a$

$N|=N^T=
\begin{pmatrix}
0&1&2\\
0&2&0\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}$

$\langle N |=\vec e^{\ 1} N^T \ ,\ \vec e^{\ 1}=(1,0,0\ldots)$ - бра-вектор, определяет показатель значения степени числа

$|A \rangle= A\ \vec e_1 \ , \vec e_1=(\vec e^{\ 1})^T$ - кет-вектор, определяет основание значения степени числа

Тогда следующие скалярные произведения, полученные при помощи указанных матриц, будут иметь значения:

$\langle N|A \rangle=a^n$

$\langle N|AB \rangle=\langle N|BA \rangle=(a+b)^n$

$\langle N|A^b \rangle=\langle N|B^a \rangle=(ab)^n$

$\langle B|N|B^{-1}A \rangle=\langle B^{-1}|N|BA \rangle=a^n-b^n$

Кроме того, имеет место свойство:

$N|A=N|+A'$

Прошу проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричная структура числа возведённого в степень
Сообщение01.10.2019, 22:45 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вообще говоря вы применили бра-кет-запись довольно бесполезным образом. Раз у вас произведения матриц окружены $\mathbf e^1\ldots\mathbf e_1$ одновременно с обеих сторон и никогда с одной, логичнее было бы ввести какие-нибудь скобочки для такого окружения, а не городить неканоническое отождествление матриц с бра и кетами.

Вот возьмём угловые: $\langle X\rangle := \mathbf e^1 X \mathbf e_1$. Теперь можно из всех ваших записей убрать вертикальные палки (кроме предпоследней, где видимо должно быть $N^T$?).

Далее, в последней записи
фигурирует неизвестная штука $A'$. Если это просто какая-то матрица, которая должна существовать для любых $N, A$, то это тривиально верно, потому что вычитание определено для всех матриц.

Наконец,
    serval в сообщении #1418497 писал(а):
    Для наглядности ограничимся случаем степени $n=2$ .
никакой наглядности не вышло, потому что вы не привели общих определений для $A, N$. Мало ли как они должны продолжаться с $n = 2$?

После этого можно будет понять, тривиально это или неверно. :roll:

-- Ср окт 02, 2019 00:50:25 --

Ах, $A'$ — это должна быть матрица того же вида, что и $A$, но для другого $a$?

Кстати говоря, можно было не возводить в степень $a$ прям там, а возводить позже, на месте использования. Тогда $AB$ превратится в $A^a A^b = A^{a+b}$, а $A^b$ — в $A^{ab}$, откуда видно, что тождества
должны выполняться или не выполняться одновременно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричная структура числа возведённого в степень
Сообщение02.10.2019, 00:49 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
serval в сообщении #1418497 писал(а):
логичнее было бы ввести какие-нибудь скобочки для такого окружения

Я не считаю логичным изобретать новый формализм там, где можно кратко и наглядно применить уже существующий.
serval в сообщении #1418497 писал(а):
можно из всех ваших записей убрать вертикальные палки

Можно. Но они служат простой цели: наглядно разделить части, которые несут принципиально разный смысл – основания и показателя значения степени числа.
serval в сообщении #1418497 писал(а):
фигурирует неизвестная штука $A'$

Эта штука – аддитивная часть результата произведения именно таких матриц. Любые ли матрицы обладают этим свойством?
serval в сообщении #1418497 писал(а):
никакой наглядности не вышло, потому что вы не привели общих определений для $A, N$. Мало ли как они должны продолжаться с $n = 2$?

Не вышло, потому что вы не выполнили мою просьбу – не проверили верность соотношений простым перемножением приведённых мной матриц.
Для матрицы $A$ я привёл самое общее определение.
Матрица $N$ строится совершенно так же из похожей матрицы, из какой – привожу ниже.
arseniiv в сообщении #1418578 писал(а):
После этого можно будет понять, тривиально это или неверно.

Или верно. В чём легко убедиться простым перемножением матриц в указанном мной порядке.
serval в сообщении #1418497 писал(а):
$A'$ — это должна быть матрица того же вида, что и $A$, но для другого $a$?

Нет. Это матрица другого вида для того же $a$ . Не поленитесь перемножить матрицы и вы всё увидите.
serval в сообщении #1418497 писал(а):
можно было не возводить в степень $a$ прям там

Вы невнимательно прочли запись. Матрица $A$ это степень другой матрицы.
Я не хотел загромождать первый пост, но, раз возникла неясность, распишу подробнее:

$A=P_{1}^{a}=
{\begin{pmatrix}
1&0&0\\
1&1&0\\
0&1&1
\end{pmatrix}}^a$

Матрица $N$ получается, после некоторых манипуляций выходящих за рамки данного материала, из матрицы

$P_{2}^{n}=
{\begin{pmatrix}
1&0&0\\
1&2&0\\
0&2&3
\end{pmatrix}}^n$

Как вы наверняка догадались, и название и нумерация не случайны – нижние треугольные ленточные матрицы $P_{1}$ и $P_{2}$ образованы 1-й и 2-й строками треугольника Паскаля соответственно, стоящими на главной диагонали и первой под ней.
Если не поленитесь вычислить результат скалярного произведения, то сможете непосредственно убедиться в его верности для любой заданной степени

$\langle P_{2}^{n}|P_{1}^{a-1} \rangle=a^n$

где $n$ нумеруется начиная с $0$, $a$ нумеруется начиная с $1$, матрицы имеют размерность $n+1$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричная структура числа возведённого в степень
Сообщение02.10.2019, 22:40 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
serval в сообщении #1418603 писал(а):
Я не считаю логичным изобретать новый формализм там, где можно кратко и наглядно применить уже существующий.
Не новый формализм, а банально простенькое обозначение. И не все согласятся, что было кратко и наглядно.

serval в сообщении #1418603 писал(а):
Нет. Это матрица другого вида для того же $a$ .
Ну то есть это $X^a$ для какой-то $X$, так? Или нет?

serval в сообщении #1418603 писал(а):
Не вышло, потому что вы не выполнили мою просьбу – не проверили верность соотношений простым перемножением приведённых мной матриц.
Так вы хотите проверки в общем случае или в конкретно этом одном? Тогда не вижу, в чём проблема взять СКА и в ней удостовериться, если вы не доверяете своим выкладкам.

serval в сообщении #1418603 писал(а):
Вы невнимательно прочли запись. Матрица $A$ это степень другой матрицы.
Да, я так и прочитал, что она степень, но ту другую матрицу было бы нагляднее назвать, после чего эквивалентность трёх первых формул очевидна; если верна любая из них, верны все.

serval в сообщении #1418603 писал(а):
нижние треугольные ленточные матрицы $P_{1}$ и $P_{2}$ образованы 1-й и 2-й строками треугольника Паскаля соответственно, стоящими на главной диагонали и первой под ней
Не очень понимаю, какой смысл на пустом месте играть в загадки, почему нельзя было выписать матрицу для произвольного размера? Теперь я вижу, чем должны быть $P_1, P_2$, но вы так и не сказали про общий вид $N$.

-- Чт окт 03, 2019 00:43:03 --

(Вообще говоря поминать треугольник Паскаля, говоря о последовательностях $1, 1, \ldots, 1,\ldots$ и $1, 2, 3,\ldots, n,\ldots$ — лишняя обфускация, если вам хочется донести до кого-то какую-то мысль. Не все захотят искать в треугольнике диагонали.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричная структура числа возведённого в степень
Сообщение25.11.2019, 13:51 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Я прошу прощения за долгое молчание, отвлекся на матричную формализацию квадратного уравнения.

Я вернусь к истоку этого формализма, он более прозрачен, для этого переобозначу некоторые объекты. Для наглядности я ограничусь второй степенью и покажу как выглядит аналог квадратного уравнения. Будут использованы всего две матрицы и два вектора.

Для числа $k^n$ матрица $B$ (base) определяет его основание, а матрица $P$ (power) - его степень:

$B=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
1 &1 &0 \\
0 &1 &1
\end{pmatrix}$

$P=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
1 &2 &0 \\
0 &2 &3
\end{pmatrix}$

Векторы вырезают из результирующей матрицы левый верхний элемент:

$e_1=(1,\ 0,\ 0)$

$e^1=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}$

Тогда число $k^n$ в матричной записи будет иметь вид:

$k^n=e_1\ (P^T)^n\ B^{k-1}\ e^1$

Матрицы стоящие слева от вертикальной черты будем считать транспонированными, например $P^T=P|$

Обозначим:

$\langle P^2|=e_1\ (P^T)^2$ - вектор определяющий вторую степень

$|X\rangle=B^{x-1}\ e^1$ - вектор определяющий основание $x$

$I$ - единичная матрица

$(a+b),\ (ab)$ - числовые коэффициенты в квадратном уравнении

Тогда квадратное уравнение $(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab=0$ в матричной записи будет иметь вид равенства скалярных произведений:

$\langle P^2|((a+b)P^{-1}|-I)|X\rangle=\langle P^2|(ab)P^{-1}|I\rangle$

Таким образом удаётся понизить степень $x$ и отделить его от числовых коэффициентов.

Дальше нужно манипулировать различием корней $x_1$ и $x_2$ но как я ещё не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричная структура числа возведённого в степень
Сообщение25.11.2019, 15:52 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Должен поправиться. "Понизить степень" в указанном формализме неверно передаёт смысл. Все степени $x$ находятся в матрице $B^{x-1}$ а матрица $(P^T)^n$ лишь транслирует их в верхний левый элемент результирующей матрицы.
Здесь матрица основания без явного указания матрицы степени вообще не имеет самостоятельного смысла, но является универсальной для любой степени. Это позволяет разделить основание и степень и манипулировать каждым параметром самостоятельно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group