Парадокс обмена

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1425970 писал(а):

Вот если достоверно известно, что противник принимает решение по броску монеты, которая орлом выпадает вдвое чаще решки, то это знание.

Насколько понимаю, у нас осталось одно разногласие: можно ли считать выводы из наблюдений "знанием"?
Я считаю, что можно. А Вы?

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1426046 писал(а):

можно ли считать выводы из наблюдений "знанием"?
Я считаю, что можно. А Вы

Можно, вопрос только о чём это знание. Если результат наблюдения заключается в том, что противник 5 раз подряд загадал чёт, то отсюда не следует достоверное знание о том, что у него генератор случайных чисел заклинило и в дальнейшем он будет также загадывать чёт.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1426058 писал(а):

Если результат наблюдения заключается в том, что противник 5 раз подряд загадал чёт, то отсюда не следует достоверное знание о том, что у него генератор случайных чисел заклинило и в дальнейшем он будет также загадывать чёт.

Конечно, достоверное знание не следует. Это знание имеет вероятностный, и более того, условный характер.
Но это не означает, что это знание нельзя использовать.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1426061 писал(а):

Конечно, достоверное знание не следует. Это знание имеет вероятностный, и более того, условный характер.
Но это не означает, что это знание нельзя использовать.

Не просто вероятностный, а основанный на взятых с потолка вероятностях. Ибо не существует однозначно правильного способа вывести вероятность следующего хода противника из знания пяти (или больше) его предыдущих ходов.

Используя эти взятые с потолка предположения, Вы рискуете, ибо это игровая ситуация и противник не дремлет. Вот Вы рассчитаете, что с вероятностью 90% у противника заклинило генератор случайных чисел и значит следующим ходом наверняка тоже будет чёт, а на самом деле окажется, что он просто Вас провоцировал, ожидая, когда Вы откажетесь от равновесной стратегии и начнёте полагаться на выводы, основанные на истории.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1426081 писал(а):

Используя эти взятые с потолка предположения, Вы рискуете, ибо это игровая ситуация и противник не дремлет.

У Вас противник не только умнее игрока, а просто демон какой-то.

epros в сообщении #1426081 писал(а):

Вот Вы рассчитаете, что с вероятностью 90% у противника заклинило генератор случайных чисел и значит следующим ходом наверняка тоже будет чёт, а на самом деле окажется, что он просто Вас провоцировал, ожидая, когда Вы откажетесь от равновесной стратегии и начнёте полагаться на выводы, основанные на истории.

Вот такая моделька, для простоты.
Игроки могут использовать ГСЧ ("честную монетку"), или выбирать единицу или ноль по каким-то соображениям.

Я (игрок А) вижу серию единиц у противника (игрока Б)
С какой-то вероятностью делаю вывод, что он "заклинил" ответы в единице.
И начинаю выбрасывать тоже единицы (я выигрываю при совпадении, противник при несовпадении).

Противник (игрок Б) теперь видит серию единиц у меня (игрока А), и на каждой такой единице он проигрывает.
Пока он соберет статистику, чтобы сделать вывод, что "я купился" - он проиграет, и тем больше, чем большую уверенность он хочет иметь.

ОК. После серии моих единиц какого-то размера большего единицы он делает вывод, что я "купился" (верный) и пытается его монетизировать. Он переворачивает свои ходы в ноль.
Я проигрываю только один раунд, и сразу делаю вывод, что у него стратегия "расклинилась".
Включаю ГСЧ и снова смотрю на историю.

Вывод: противник проиграл больше, чем я. Провоцировать невыгодно.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1426402 писал(а):

Вывод: противник проиграл больше, чем я. Провоцировать невыгодно.

Вам остаётся только надеяться и верить, что именно Вы объегорите противника, а не он Вас. Тем обиднее будет натолкнуться на того, кто все Ваши рассуждения просчитает. Ибо не такие уж они на самом-то деле сложные.

[Safia]

sergey zhukov в сообщении #1422517 писал(а):

Ведущий предлагает двоим участникам игру. Каждый получает конверт с деньгами, причем ведущий сообщает только одно: в одном конверте денег вдвое больше, чем в другом. Участники могут поменяться конвертами перед тем, как их вскрыть, если хотят. Игра продолжается многократно. Какая стратегия максимизации выигрыша?

Каждый участник рассуждает так: в моем конверте $x$, значит в конверте противника с вероятностью $50/50$ либо $x/2$, либо $2x$. Если $x/2$, то при обмене я теряю $x/2$. Если $2x$, то при обмене я выигрываю $x$. Т.к. оба случая равновероятны, обмен мне выгоден. Так рассуждает каждый, что невозможно. В чем ошибка?

Ошибка в самом начале, в утверждении "в моём конверте $x$". На самом деле в моём конверте с вероятностью 50 процентов может быть $x$ (и тогда в другом будет $2x$, таким образом с вероятностью 50 процентов у меня станет на $x$ больше после обмена) и с вероятностью 50 процентов может быть $2x$ (и тогда в другом будет $x$, таким образом с вероятностью 50 процентов у меня станет на $x$ меньше после обмена). Тогда всё сходится.

[sergey zhukov]

Safia в сообщении #1427106 писал(а):

Ошибка в самом начале, в утверждении "в моём конверте $x$".

Я получил конверт, открыл его и вижу 2 руб. 50% за то, что это $x$, тогда у противника $2x=$ 4 руб. 50% за то, что это $2x$, тогда у противника $x=$ 1 руб. Нужно меняться.

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1427245 писал(а):

Я получил конверт, открыл его и вижу 2 руб. 50% за то, что это $x$, тогда у противника $2x=$ 4 руб. 50% за то, что это $2x$, тогда у противника $x=$ 1 руб. Нужно меняться.

Эта логическая цепочка с вероятностью 50% правильна, но с вероятностью 50% содержит ошибку...

[sergey zhukov]

Лукомор в сообщении #1427254 писал(а):

Эта логическая цепочка с вероятностью 50% правильна, но с вероятностью 50% содержит ошибку...

Пожалуй, лучшее объяснение этого вопроса.

[Sicker]

Этот парадокс можно объяснить с помощью теории игр
Пусть у нас рандомно генерируюется конверт с $2^n$ рублями, где $0\leq n \leq N$, во второй конверт кладут $2^{n+1}$ рублей, и потом случайно дают двум игрокам. Рассуждаем с позиции одного из игроков - пусть у меня $2^{N+1}$ рублей, мне меняться невыгодно, т.к. у моего оппонента гарантированно в два раза меньше. Пусть у меня $2^N$ рублей, мне тогда меняться тоже невыгодно, т.к. если у моего оппонента $2^{N+1}$, он точно меняться не будет. Продолжаем так рассуждать по индукции и проходим к выводу, что надо меняться когда у тебя $1$ рубль, но т.к. у твоего оппонента 2 рубля, а он рассуждал также же, то сделка не состоится.
Можно еще дополнить рассуждения в начале, пусть у меня на руках $2^k$ рублей, то имеет смысл меняться, если у моего оппонента $2^{k+1}$ рублей и он тоже будет меняться, мой оппонент будет рассуждать также для оппонента с $2^{k+2}$ рублями и т.д. по индукции доходим до оппонента с $2^{N+1}$ рублями, который точно меняться не будет, а значит не будет меняться оппонент с $2^N$ рублями и т.д. вплоть до $2^{k+1}$, т.е. нам не надо меняться имея $2^k$ рублей

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1427379 писал(а):

Пожалуй, лучшее объяснение этого вопроса.

Отнюдь не лучшее, но... самое простое!
Действительно, если у Вас в руках конверт с меньшей из двух сумм, то вывод:"Нужно меняться!"- правильный.
Если у Вас конверт с большей из двух сумм вывод - ошибочный.
Вероятность того и другого составляет 50%.

[sergey zhukov]

Sicker в сообщении #1427394 писал(а):

Рассуждаем с позиции одного из игроков - пусть у меня $2^{N+1}$ рублей, мне меняться невыгодно, т.к. у моего оппонента гарантированно в два раза меньше. Пусть у меня $2^N$ рублей, мне тогда меняться тоже невыгодно, т.к. если у моего оппонента $2^{N+1}$, он точно меняться не будет.

Откуда следует, что когда я приписываю оппоненту $2^{N+1}$, то и он сам так думает? Мы оба можем думать, что у каждого $2^N$, а у оппонента $2^{N+1}$ и обмен выгоден обоим. Кто-то из нас не прав, но заметить этого самостоятельно он не может.
Тут еще нужно учесть, что игроки в исходной постановке вообще не задумываются осуществовании ограничения $N$. Оно не подразумевается. Если бы игроки знали значение $N$ или просто знали, что конечное ограничение $N$ существует, они не могли бы так просто рассуждать "у него равновероятно $x$ или $2x$", но подумали бы сначала, что "у него $x$" - это всегда возможно, но "у него $2x$" - это уже может быть просто невозможно, учитывая конечный $N$.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1427782 писал(а):

Откуда следует, что когда я приписываю оппоненту $2^{N+1}$, то и он сам так думает? Мы оба можем думать, что у каждого $2^N$, а у оппонента $2^{N+1}$ и обмен выгоден обоим. Кто-то из нас не прав, но заметить этого самостоятельно он не может.

Однако, каждый из игроков самостоятельно может заметить, что делая такие предположения, он делает какие-то ничем не обоснованные предположения о процедуре подготовки конвертов.

[sergey zhukov]

EUgeneUS в сообщении #1427784 писал(а):

Однако, каждый из игроков самостоятельно может заметить, что делая такие предположения, он делает какие-то ничем не обоснованные предположения о процедуре подготовки конвертов.

Да, я бы так сказал: игрок считает, что если разыгрывается бОльшая общая сумма, то он всегда получает меньшую часть, а когда разыгрывается меньшая общая сумма - то он всегда получает бОльшую часть. Т.е ведущий подыгрывает оппоненту. На самом деле нет такой зависимости.