Проективные и инъективные модули: что почитать?

[Munin]

Добрался до проективных (и инъективных) модулей. Опыта работы даже со свободными модулями особого нет, но продраться через простейшие упражнения могу.

Однако что такое проективные модули? Поиск по литературе по линейной алгебре и даже по общей алгебре не даёт на эту тему подробных учебников для начинающих. В старых книгах эта тема выпадает за рамки изложения. Я нашёл только:

Ленг. Алгебра. - упоминание в одном упражнении.
Шафаревич. Основные понятия алгебры. - беглое упоминание в продвинутом контексте.
Вавилов. Не совсем наивная линейная алгебра. - несколько разбросанных упоминаний и даже теорема - но нет централизованного систематического изложения.

Судя по Вавилову, существует несколько (три или более) определений проективного модуля, причём непонятно, как они между собой связаны. Особо я возлагал надежды на Вавилова, потому что он обычно приводит достаточно много элементарных примеров для развития интуиции о понятии, и элементарные же упражнения, но в данном месте он надежды не оправдал.

Прошу помощи! Дайте вот как раз такие простейшие примеры, свойства и упражнения, или литературу, в которой они даны. Не в категорных терминах, а попроще.

[Munin]

Из https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_module
нашёл пару примеров:

Цитата:

* Over a direct product of rings $R\times S$ where $R$ and $S$ are nonzero rings, both $R\times 0$ and $0\times S$ are non-free projective modules.
* Over a matrix ring $\mathrm{M}_n(R),$ the natural module $R^n$ is projective but not free.

Правильно ли я это понял?

Цитата:

* Над прямым произведением ненулевых колец $R\times S,$ произведения $R\times 0$ и $0\times S$ образуют не свободные проективные модули.
* Если рассмотреть модуль $R^n$ как модуль над кольцом матриц $\mathrm{M}_n(R),$ то он будет проективным, но не свободным ($n\ne 1$).

[Padawan]

Айзенбад Коммутативная алгебра с прицелом на алгебраическую геометрию
Бурбаки Коммутативная алгебра
Атья, Макдональд Введение в коммутативную алгебру
Эти читал и понятно было вроде

[Munin]

Спасибо!
А где Айзенбада достать по-русски? Гугл даёт ссылку на тему на этом же форуме topic129215.html , и всё.

[Yuri Gendelman]

Munin в сообщении #1426295 писал(а):

А где Айзенбада достать по-русски?

http://маткнига.рф/wp-content/uploads/2017/04/978-5-4439-0362-0.pdf
Здесь только первая глава, но для оценки читабельности может быть достаточно.

[Munin]

Спасибо, я эту ссылку уже знаю, три раза на неё натыкался. Мне бы книгу.

[iou]

Можно посмотреть начало книжки "The K-book: an introduction to algebraic K-theory" (Weibel) или книжку Картана и Эйленберга "Гомологическая алгебра" (по всей видимости, эта книжка является историческим родителем понятия проективных модулей).

Munin в сообщении #1426218 писал(а):

Не в категорных терминах, а попроще.

1) На самом деле в категорных терминах есть замечательное описание. Зафиксируем коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей $R$, тогда $R$-модуль $M$ называется плоским, если функтор $M \otimes -$ является точным эндофунктором категории $\operatorname{Mod}(R).$ Несложно проверить, что всякий проективный модуль является плоским (можно использовать, например, что каждый проективный модуль является прямым слагаемым некоторого свободного). Верно ли обратное? Вообще говоря, нет. Например, если $R = \mathbb{Z},$ то плоские модули это абелевы группы без кручения, а проективные модули это свободные модули (не очень сложно проверить, что проективные модули над PID всегда свободны), в частности, $\mathbb{Q}$ является плоским, но проективным не является.
Насколько сильно плоских модулей больше? Вообще говоря, класс плоских модулей замкнут относительно всех фильтрующихся копределов и, оказывается, это наимеьший класс, содержащий проективные модули и замкнутый относительно прямых пределов! Теорема Говорова-Лазара даёт даже более точное описание категории плоских модулей. Она утверждает, что всякий плоский модуль является прямым пределом некоторого семейства конечно-порождённых свободных модулей.
Таким образом, категории плоских модулей и проективных модулей тесно связаны. Ещё, например, верно, что (если кольцо $R$ нетёрово) всякий конечно-порождённый плоский модуль проективный.
2) Ещё стоит отметить связь проективных модулей с геометрией. Есть такой замечательный результат: теорема Серра-Свона (https://en.wikipedia.org/wiki/Serre%E2%80%93Swan_theorem). У него много формулировок (зависящих от того, в какой категории мы хотим работать) и там есть свои тонкости, но я приведу формулировку из гладкой науки. Пусть $X$ связное гладкое конечномерное многообразие и $E$ гладкое векторное расслоение конечного ранга на нём. Пространство глобальных сечений $\Gamma (E)$ естественным образом является $C^{\infty} (X)$-модулем, теорема Серра-Свона утверждает, что пространство глобальных сечений является конечно-порождённым проективным $C^{\infty} (X)$-модулем. Более того, всякий проективный конечно-порождённый $C^{\infty} (X)$-модуль приходит таким образом. Проще говоря, категории конечно-порождённых проективных $C^{\infty} (X)$-модулей и гладких векторных расслоений эквивалентны. То есть концепция такая, что проективные модули это примерно то же самое, что и векторные расслоения.
Эта интуиция переносится в мир алгебраической геометрии. Пусть $X$ схема. Какие когерентные пучки на $X$ разумно называть расслоениями? Те, которые можно локально тривиализовать, то есть локально свободные пучки. Пусть теперь $X = \operatorname{Spec} (A)$, где $A$ коммутативное нётерово кольцо и $M$ конечно-порождённый проективный модуль, тогда $M$ является локально свободным! Таким образом, изучение конечно-порождённых проективных модулей над нетёровым кольцом это, в некотором смысле, геометрическая задача.

[Munin]

Ох, из ваших трёх абзацев я только второй немножко понимаю, и то только потому, что ранее услышал пример попроще :-)

[Munin]

iou в сообщении #1426843 писал(а):

или книжку Картана и Эйленберга "Гомологическая алгебра" (по всей видимости, эта книжка является историческим родителем понятия проективных модулей).

При всём уважении, это невероятно тяжело для меня. Параграф "Проективные модули" там занимает $2^1\!/\!_2$ страницы, и весь сформулирован в абстрактных категорных понятиях. А я как раз просил простых и конкретных примеров!

Я давно заметил, что первоисточники тех или иных научных теорий намного сложнее для новичка, чем последующие специально учебные изложения. Ещё один пример в копилку.

-- 20.11.2019 13:57:40 --

В Вайбеле, только другом (Hom. Algebra), приведены ровно те же примеры, что в Википедии. Я надеюсь, это не говорит о том, что их на всю математику вообще ровно два?..

[Munin]

Скачал нужного Вайбеля. Да, в нём есть пример непрерывных сечений нетривиального векторного расслоения (p. 9)

Цитата:

(4) Topological examples. Other examples of nonfree projective modules come from topology, and will be discussed more in $\S 4$ below. Consider the ring $R=C^0(X)$ of continuous functions $X\to\mathbb{R}$ on a compact topological space $X.$ If $\eta\colon E\to X$ is a vector bundle, then by Ex. 4.8 the set $\Gamma(E)=\{s\colon X\to E : \eta s=1_X\}$ of continuous sections of $\eta$ forms a projective $R$-module. For example, if $T^n$ is the trivial bundle $\mathbb{R}^n\times X\to X,$ then $\Gamma(T^n)=R^n.$ We claim that if $E$ is a nontrivial vector bundle, then $\Gamma(E)$ cannot be a free $R$-module. To see this, observe that if $\Gamma(E)$ were free, then the sections $\{s_1,...,s_n\}$ in a basis would define a bundle map $f\colon T^n\to E$ such that $\Gamma(T^n)=\Gamma(E).$ Since the kernel and cokernel bundles of $f$ have no nonzero sections, they must vanish, and $f$ is an isomorphism.
When $X$ is compact, the category $\mathbf{P}(R)$ of finitely generated projective $C^0(X)$-modules is actually equivalent to the category of vector bundles over $X$; this result is called Swan's Theorem. (See Ex. 4.9 for a proof.)

-- 20.11.2019 15:09:00 --

И следующий пример вносит некоторую ясность и обобщает странный пример над произведением колец:

Цитата:

Example 2.1.2 (Idempotents). An element $e$ of a ring $R$ is called idempotent if $e^2=e.$ If $e\in R$ is idempotent, then $P=eR$ is projective because $R=eR\oplus(1-e)R.$ Conversely, given any decomposition $R=P\oplus Q,$ there are unique elements $e\in P,f\in Q$ such that $1=e+f$ in $R.$ By inspection, $e$ and $f=1-e$ are idempotent, and $ef=fe=0.$ Thus idempotent elements of $R$ are in 1-1 correspondence with decompositions $R\cong P\oplus Q.$
If $e\ne 0,1$ and $R$ is commutative, then $P=eR$ cannot be free, because $P(1-e)=0$ but $R(1-e)\ne 0.$ The same is true for noetherian rings by Ex. 1.4 but obviously cannot be true for rings such that $R\cong R\oplus R$; see Ex. 1.2(111).
Every finitely generated projective $R$-module arises from an idempotent element in a matrix ring $M_n(R).$ To see this, note that if $P\oplus Q=R^n,$ then the projection-inclusion $R^n\to P\to R^n$ is an idempotent element $e$ of $M_n(R).$ By inspection, the image $e(R^n)$ of $e$ is $P.$ The study of projective modules via idempotent elements can be useful, especially for rings of operators on a Banach space. (See [162].)

 И проясняет структуру примера модуля над кольцом матриц. 

[vego]

Попробуйте посмотреть здесь:
Adkins, Weintraub - Algebra - An Approach via Module Theory
Lam - Lectures on Modules and Rings
Книгу Лама все хвалят, но я её никогда не открывал

[Munin]

Спасибо за литературу!

Надо бы посмотреть, но что-то я уже устал и выдохся. Уже видно, что все примеры достаточно непростые. Надо побольше помедитировать над тем, что написано у Вайбеля.

Тем более, что читать математический текст по-английски мне сильно труднее, чем по-русски.