интеграл по параметру

[Q_Q]

$\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt=\frac {1}{ \sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-t^{2}} \frac {\sin {2tx}}{t} dt$
требуется доказать это тождество
помогите пожалуйста разобраться

[Brukvalub]

Попробуйте сначала доказать, что равны производные левой и правой частей тождества.

[Q_Q]

ну допустим, а что дальше делать с левой частью?как ее преобразовывать?

[ИСН]

Если, допустим, Вы доказали равенство производных, то осталось доказать равенство функций хотя бы в одной точке. Понятно ли, где это удобнее всего сделать?

[Brukvalub]

Q_Q в сообщении #142509 писал(а):

ну допустим

Не нужно ничего допускать. Если производные функций равны на всей числовой оси, то сами функции могут отличаться только на константу. Подставив х=0, убеждаемся, что функции совпадают тождественно.

[Q_Q]

в 0 ?

Добавлено спустя 10 минут 18 секунд:

ясно, спасибо всем

Добавлено спустя 2 часа 16 минут 57 секунд:

если не трудно, распишите пожалуйста, как выходит равенство производных, никак у меня не получается ((

[Алексей К.]

Q_Q в сообщении #142514 писал(а):

если не трудно, распишите пожалуйста, как выходит равенство производных

Как сейчас помню (в детстве долбили) ---

~\\~\\ Из зала в зал переходя\\ здесь движется народ.\\ Вся жизнь великого вождя\\ передо мной встаёт!\\~\\

Или вот:

~\\~\\ Производная от интеграла по его верхнему пределу\\ равна значению подинтегральной функции на верхнем пределе!

[Алексей К.]

...Во втором случае слова забыл, но почесав репку, сообразил, что дифференцирование интегpала (по параметру $x$) переходит на дифференцирование по нему подинтегральной функции. Попробуйте и Вы сообразить:
$F(p)=\int_a^b f(\xi,p)d\xi,$
$F(p+dp)=\int_a^b f(\xi,p+dp)d\xi=\int_a^b \left[f(\xi,p)+f'_p dp\right]d\xi=\ldots=F(p)+\ldots$
$F(p+dp)-F(p)=\ldots$
upd. Опечатка, ниже высоко оценённая как бред, исправлена.

[Brukvalub]

Алексей К. в сообщении #142544 писал(а):

Производная от интеграла по его верхнему пределу
равна значению подинтегральной функции на верхнем пределе!

Это гарантированно верно только в точках непрерывности подинтегральной функции.

Алексей К. в сообщении #142584 писал(а):

.Во втором случае слова забыл, но почесав репку, сообразил, что дифференцирование интегpала (по параметру $x$) переходит на дифференцирование по нему подынтегральной функции.

Для несобственных интегралов такой переход требует специальных обоснований!

[Алексей К.]

Brukvalub в сообщении #142603 писал(а):

Для несобственных интегралов такой переход требует специальных обоснований!

Ну, это я чисто убеждался, что правильно вспомнил. На экзамене бы, наверное, дополнительно напрягся бы на пущую строгость формулировки и специальные обоснования...

[zoo]

Алексей К. в сообщении #142584 писал(а):

$F(p)=\int_a^b f(\xi,p)d\xi,$
$F(p+dp)=\int_a^b f(\xi,p+dp)d\xi=\int_a^b \left[f(\xi,p)+f'_\xi dp\right]d\xi=\ldots=F(p)+\ldots$

бред какой-то

[Алексей К.]

Не бред. Максимум --- аббревиативная нестрогость.

[AD]

Товарищи, а это только мне правая часть так живо напоминает какое-то преобразование Фурье?

[ewert]

Алексей К. в сообщении #142670 писал(а):

Не бред. Максимум --- аббревиативная нестрогость.

буковку при производной замените, тогда будет лишь нестрогость, а так -- увы, бред

Добавлено спустя 10 минут 6 секунд:

AD в сообщении #142675 писал(а):

Товарищи, а это только мне правая часть так живо напоминает какое-то преобразование Фурье?

Ну после дифференцирования по иксу ровно преобразование Фурье и получится (с точностью до разных двоек).

Добавлено спустя 5 минут 4 секунды:

Brukvalub в сообщении #142603 писал(а):

Для несобственных интегралов такой переход требует специальных обоснований!

Brukvalub в сообщении #142513 писал(а):

Не нужно ничего допускать. Если производные функций равны на всей числовой оси, то сами функции могут отличаться только на константу. Подставив х=0, убеждаемся, что функции совпадают тождественно.

Ну тогда уж будем последовательными: непрерывность правой части по иксу в нуле тоже требует обоснований.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #142692 писал(а):

Ну тогда уж будем последовательными: непрерывность правой части по иксу в нуле тоже требует обоснований.

Неправда Ваша, дяденька! Какая непрерывность? Разве вычисление значения какой-либо функции в какой-либо точке из ее области определения требует непрерывности этой функции в той точке, где функция вычисляется???
Более того, если будет обоснована дифференцируемость, то никак не требуемая непрерывность будет обоснована автоматически: да будет Вам известно, что всякая функция обязательно непрерывна в точках своей дифференцируемости...
P.S. Очевидно, что написать относящиеся ко мне замечания можно было только находясь в состоянии грандиозного подпития!