Скаляр, псевдоскаляр, вектор и псевдовектор.

[ArtMath]

На счёт неясного.
1) Т. н. истинный вектор называется полярным, потому что такой вектор используется в полярной системе координат. В ней точка описывается (должно быть Вам знакомым) радиус-векторном, начало которого совпадает с началом отсчета в системе координат. Т. о. точка(-и) однозначно задаётся направлением этого вектора, его длиной(или модулем) и углом поворота относительно некоторого направления, т. е. относительно некоторой прямой. Отсюда и пошло название. Что касается псевдо вектора, то здесь история немного схожая. Дело в том, что изначально самое первое представление о псевдовекторе сложилось из того, как его определили. Вопрос об определении(создании) псевдовекторов (как это часто бывает) возник из-за запросов физики: необходимо было описывать вращательное движение тел. Как известно, вращательное движение характеризуется осью вращения, что является одним из ключевых понятий в решение задачи об описании такого движения, поэтому надо было как-то связать с ней величины описывающие вращ. движение. Так и был введён псевдовектор, а аксиальным его назвали, потому что это слово происходит из греческого от слова "аксис" — что означает ось. То есть аксиальный вектор это тот, который лежит ( в терминах геометрии) на оси, прямой. Как-то так. На 2, 3 и остальные пункты вашего вопроса, ответить можно, если изучать соответствующую литературу. Подробнее о псевдовекторе можно узнать из 1 тома сивухина курс общей физики, параграф называется (начало названия, все не помню) "о вектора..."

[pogulyat_vyshel]

Slav-27 в сообщении #1248736 писал(а):

Мы будем рассматривать $3$-мерное евклидово прстранство $V$. Это $3$-мерное вещественное векторное пространство с заданным на нём скалярным произведением. (

Дальше, в принципе, можно не читать: ни понятие вектора, ни псевдовектора с метрической структурой ни как не связаны. С размерностью векторного пространства тем более.

[Slav-27]

pogulyat_vyshel в сообщении #1426255 писал(а):

Дальше, в принципе, можно не читать: ни понятие вектора, ни псевдовектора с метрической структурой ни как не связаны. С размерностью векторного пространства тем более.

Ага. Там у того, кто тему начал, изначально было евклидово 3-мерное пространство и векторные произведения, а ещё он жаловался, что математической базы у него нет. Поэтому я решил не уходить в обобщения и писать про то, что есть. С другой стороны, структурную группу всегда можо редуцировать от $GL(n)$ к $O(n)$ (ввести метрику, по сути), поэтому мне казалось, что мы не сильно много потеряем.

-- 16.11.2019, 13:35 --

А что, совсем вредный текст получился? Я подумаю, может быть, что исправить.

[pogulyat_vyshel]

Скалярных произведений можно ввести много. И выделенного среди них нет. Если мы не очень гонимся за инвариантными формулировками, то можно определить как в учебнике Ефимова Розендорна: post682458.html#p682458
А дальше обсуждать уже специальные вопросы: между отдельными пространствами псевдотензоров существует канонический (не зависящий от базисов) изоморфизм. Если при этом еще в исходном пространстве и скалярное произведение имеется, то появляются еще дополнительные канонические изоморфизмы. Так мы подъезжаем к векторному произведению и т п.

Ефимов Розендорн, как я понимаю, тоже основываются на соображениях представлений, хотя не проговаривают этого явно. Они основываются структуре гомоморфизма из $GL(n)$ в мультипликативную группу $\mathbb{R}$.

[arseniiv]

На определителе оператора-то? Вроде мимо него никак и не пройти, он обязательно явится; и его можно пытаться прятать, но мало толку.

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1426275 писал(а):

На определителе оператора-то? Вроде мимо него никак и не пройти, он обязательно явится; и его можно пытаться прятать, но мало толку.

не понял, вопрос в чем?

-- 16.11.2019, 17:06 --

Определитель оператора это скаляр, он во всех базисах одинаков (не путать с определителями другого происхождения)

[Munin]

Slav-27 в сообщении #1426258 писал(а):

А что, совсем вредный текст получился? Я подумаю, может быть, что исправить.

Хороший текст получился. Вы не думайте, pogulyat_vyshel всегда сильно критикует. И не смотрит на контекст обсуждения.

[arseniiv]

pogulyat_vyshel в сообщении #1426283 писал(а):

Определитель оператора это скаляр, он во всех базисах одинаков

Разумеется, и это гомоморфизм из $\operatorname{GL}(V)$ в группу обратимых скаляров.

Вопрос был в том, тот ли это гомоморфизм, который упомянули вы, потому что никакого другого мне в голову не пришло, а определитель как раз действительно, через свой знак, используется в определении, меняет оператор ориентацию или нет. Но если там подход какой-то другой, интересно узнать.

[pogulyat_vyshel]

Дык это именно те гомоморфизмы, которые в определении псевдотензоров фигурируют
Если $f:GL(n)\to (\mathbb{R}\backslash\{0\},\cdot)$ -- гомоморфизм (непрерывный)
то либо
$f(A)=|\det A|^\sigma$ либо $f(A)=|\det A|^{\sigma-1}\det A$ .
Других гомоморфизмов нет

[arseniiv]

А, да, ещё с модулем… я как-то забыл, что там много их. Да, интересные дела.

[Sicker]

(Оффтоп)

Если по первым постам все подытожить , то нет ничего кроме внешнего произведения и значения $n$-формы на $n$-векторе

[arseniiv]

(Sicker)

А без намёков?

[Sicker]

arseniiv
Векторное произведение выражается через внешнее произведение, скалярное произведение через значения вектора на ковекторе при каноническом изоморфизме

-- 17.11.2019, 15:33 --

Если подробнее то
$a\cdot b=(I(a),b)$
$a\times b=\ast(I(a)\bigwedge I(b))$

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1426415 писал(а):

скалярное произведение через значения вектора на ковекторе при каноническом изоморфизме

Телегу впереди лошади поставили.

Sicker в сообщении #1426415 писал(а):

Векторное произведение выражается через внешнее произведение

А тут важно, что оно выражается не только через него. Нужна ещё звёздочка Ходжа, которая требует во-первых скалярное произведение и во-вторых (иногда опционально) ориентацию. Если ориентацию задать, будет переводить штуки в штуки, а если не задать, штуки в псевдоштуки (потому что зависимость от ориентации надо куда-то деть).

Но повторюсь ещё раз: что вы хотели сказать? Нового, я имею в виду. А то более-менее бесполезные и запутывающие ответы тут и так уже есть.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1426426 писал(а):

Нужна ещё звёздочка Ходжа

И канонический изоморфизм, да, я это выше и дополнил