Устойчивый многочлен пятой степени с параметрами.

[TR63]

Гипотеза о том, что левее единственной положительной точки, в которой для многочлена степени $(n)$, в которой при $c_n=(TC)^+$ имеются противоположные корни, находится "непрерывная" область, т.е. не смешанная относительно устойчивость\неустойчивость, подтверждается аналитически ещё на следующем частном примере при $a>1$

$$x^7+x^6+ax^5+x^4+a^2x^3+ax^2+a^3x+(a^3-c)=0$$

Здесь $(TC)^+=a^3$ единственна (комплексные не считаются). По Гурвицу многочлен глобально неустойчив при $a>1$. Надо выяснить, есть ли устойчивость при $a<1$. Ответ пока не знаю.
Замечание.
Фактически в $(TC)^+$ для $n=(3;4)$ имеется два свойства:
1). область левее $(TC)^+$ непрерывно устойчива (ограниченна)
2). область правее $(TC)^+$ непрерывно устойчива (неограниченна)

Гипотеза: экстраполироваться на многочлены степени $n>4$ может (только?) одно свойство с минимумом информации, т.е. "непрерывность" ограниченной области (но как повлияет наличие комплексных $(TC)$?, например в рассмотренном примере для $n=7$) (в "Дискуссионном разделе я экстраполировала более одного свойства, но "Боливар не выдержал двоих").

Вопрос 1. Существует ли контрпример к этой гипотезе для $n=5$ (здесь всегда $(TC)$ действительны, т.к. их две: одна положительна по условию действительна, значит вторая по Виету действительна).

Хорошо, что на форуме Мехмата

(Оффтоп)

Хорошо, что на форуме Мехмата подняли аналогичную древнюю тему, что сподвигло меня пересмотреть мою гипотезу в "Дискуссионном разделе" в сторону возможной её корректировки для единственной $(TC)^+$.
Спасибо Мехмату.

[Xmas]

TR63,
что касается многочлена 7-й степени, который упоминался в предыдущем сообщении, то оценка методом "грубой силы" (перебор $a$ и $c$ с шагом 0,05) показывает, что он, похоже, всюду такой "красный". Небольшой минимум (но всё равно с положительными действительными частями) рисуется в области $a=c=0$. Там многочлен упрощается до $(x^3+x^2+1)\cdot x^4$, и корни вычисляются даже аналитически точно, хотя выглядят неласково. Пара корней у кубического сомножителя примерно равны $0.23\pm i 0.79$. Третий корень действительный и отрицательный, но он уже на итог не влияет. (Интервал перебора специально продолжен в область отрицательных параметров, чтобы посмотреть, что там такое)

[TR63]

Xmas, спасибо.

Выше у меня опечатка. Исправляю:

TR63 в сообщении #1426048 писал(а):

Фактически в $(TC)^+$ для $n=(3;4)$ имеется два свойства:
1). область левее $(TC)^+$ непрерывно устойчива (ограниченна)
2). область правее $(TC)^+$ непрерывно неустойчива (неограниченна)

Определитель Гурвица третьего порядка многочлена седьмой степени получился равным $\{-(a-1)^2\}$. Т.е. получаем глобальную неустойчивость. График это подтверждает. Похоже, не ошиблась в арифметике, и гипотеза подтвердилась для частного случая: ограниченная область, действительно, непрерывна. Неограниченная тоже получилась непрерывна. Но для пятой степени неограниченная область, как было показано, смешанная (разрывная). Т.е. экстраполяции для неограниченной области при различных степенях нет, что подтверждает также гипотезу на частных примерах.

[TR63]

TR63 в сообщении #1425656 писал(а):

при $1<b<2$ смешанный тип устойчивости... подтверждение этого факта при $a=1$, $b=1.5$, $c=1.3$. Вольфрам говорит:
$x_1=-0.03377$
$x_{2;3}=-0.42392\pm1.50995i$
$x_{4;5}=-0.05919\pm1.55043i$
Т.е. имеется устойчивость, а при $a=1$, $b=1.5$, $c=0.5$ неустойчивость (смешанный тип устойчивости в этой области)

Стоп. Эти примеры не подтверждают смешанного типа устойчивости, когда свободный член правее $(TC)^+_1$, т.к. обе точки не находятся правее $(TC)^+_1=2a(b-1)$. Вторая точка, в которой корни противоположны, отрицательна $(TC)^-_2=-2a(1+b)^2$.
На данный момент нет аналитического доказательства для многочлена

TR63 в сообщении #1424487 писал(а):

пятой степени вида

$$x^5+ax^4+2(1+b)x^3+a(1+b)x^2+4bx+(ab-c)=0$$

(

что он устойчив при $ab-c<(TC)^+_1$. Доказано только, что он устойчив при $b>2$. И нет конкретного контрпримера в числах (в числах понятнее).
Вроде, задача решается просто аналитически в общем виде (для пятой степени). Получается, левее $(TC)^+_1$ устойчивость, правее-неустойчивость при наличии $(TC)^-_2$ (доказательство надо проверить; изложу позже).

[Xmas]

TR63, параметры многочлена ($a,b,c$) - они объект исследования, или они используются, как вспомогательный инструмент, чтобы "отфильтровать" некоторое, приблизительно подходящее, подмножество многочленов?

[TR63]

Xmas, я попробовала решать задачу в общем виде для произвольного многочлена пятой степени с положительными коэффициентами. Проблем не возникло. Если решать для конкретного многочлена (нашего), то доказательство тормозит неравенство. Может, оно и легкое. Не знаю.

[Xmas]

TR63,
мне вот подумалось - почему бы не глянуть на другие критерии? Критерий Гурвица, конечно, даёт нужные результаты, но цена трудоёмкости, на мой взгляд, тяжела. Он хорош, когда примерно знаешь параметры, и нужно исследовать малую окрестность. Для общего обозрения, может, другие критерии покажут те аспекты, которые по критерию Гурвица ускользают из вида.

Вы говорили об "обобщении". Ведь не будет грехом поставить дальнюю цель, которая бы позволила оценить многочлен, скажем, 1000-го порядка? По критерию Гурвица их проверить нереально, как и решить систему из 1000 линейных уравнений методом Крамера. Сейчас я не знаю готового ответа, но было бы интересно найти его совместно.

[TR63]

Xmas в сообщении #1426584 писал(а):

было бы интересно найти его совместно

Спасибо. Я не против. Идея у меня есть. Но в программировании я ноль. А, оно будет кстати.
Сейчас надо проверить, как работает идея для многочлена пятой степени.
Заглянула на форум Мехмата (тема "Автокатализ"; там исследуется устойчивость многочлена пятой степени). Прошла по ссылке. Исследуют на устойчивость многочлен пятой степени с помощью критерия Михайлова:

$$x^5+2x^4+7x^3+8x^2+10x+6=0$$

Моим методом решается более общая задача (при $a_5<8$ многочлен устойчив, правее неустойчив; $(TC)^+_1=8$, $(TC)^-_2=-10$).
Xmas, если не найдёте контрпримера к этому примеру, то можете читать и проверять изложенное ниже.

Рассмотрим многочлен пятой степени с положительными коэффициентами

$$x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0$$

при условии $q^2=a_2^2-4a_4>0$.

Обозначение: $(TC)$-точка, в которой многочлен при $a_5=(TC)$ имеет противоположные корни.

При $q^2=a_2^2-4a_4<0$ $(TC)$ могут быть комплексными (могут ли они быть действительны? не знаю; надо исследовать). Этот случай пока пропускаем.

Вычислив $(TC)$, получим, что они равны:

$(TC)_1=-\frac{a_2+q}{2}\cdot\frac{qa_1+(a_1a_2-2a_3)}{2}$
$(TC)_2=\frac{a_2-q}{2}\cdot\frac{qa_1-(a_1a_2-2a_3)}{2}$

Будем рассматривать случай, когда эти точки противоположных знаков, т.е. их произведение отрицательно. Тогда должно выполняться условие:

$a_1^2(a_2^2-4a_4)-(a_1a_2-2a_3)^2>0$

из которого следует

$0<a_4<\frac{(a_1a_2a_3-a_3^2)}{a_1^2}$

Из этого следует, что пункты $(2;3)$, необходимые для устойчивости, выполнены.
Остаётся проверить, выполнен ли пункт $(4)$. Т.е. должно выполняться условие:

$f=a_5^2+(a_1a_2^2-2a_1a_4-a_2a_3)a_5+(a_1^2a_4^2+a_3^2a_4-a_1a_2a_3a_4)<0$

Заметим, что здесь свободный член отрицателен и имеется только один положительный корень. Кроме того, по теореме Орландо $f(a_5=(TC))=0$ (тонкое место). Значит при $a_5<(TC)$ будет $f<0$. Т.е. в этой области многочлен глобально устойчив. А, мы получили следствие из теоремы Гурвица для многочлена пятой степени, указанного выше типа. Конечно, если в выкладках нет ошибки.
Прошу проверить.

[TR63]

TR63 в сообщении #1424969 писал(а):

На пятую степень экстраполируется свойство из ограниченной области, что левее точки противоположных корней. Область, что правее, неограниченна, и свойство, аналогичное свойству из ограниченной области ("непрерывностись") не экстраполируется.

Контрпример был не из области определения. Из аналитического доказательства видно, что на пятую степень свойство "непрерывности" экстраполируется на обе области.
Думаю, что экстраполяция на $n>5$ в первую очередь должна происходить на область меньшей мощности. Но не очевидно, какая из областей меньшей мощности. Возможно, они равномощны. Не знаю. Но, если доказать, что для устойчивости необходимо выполнение условия $a_n<(TC)^+_1$ (рассматривается случай единственной $(TC)^+$), то очевидно, что правее неустойчивость. Т.е. на область правее свойство "непрерывности" экстраполируется.

Вопрос:
так действительно ли для устойчивости необходимо выполнение условия $a_n<(TC)^+_1$? (для выяснения достаточно представить старший определитель Гурвица в виде многочлена; но он большой, не знаю, как его раскрыть; в первую очередь интересует седьмая степень, т.к. далее можно экстраполировать гипотетически, если свойство подтвердится).

[TR63]

Хочу предложить новую задачу для исходного многочлена пятой степени. Но прежде хочу показать, как эта задача возникла на основе гипотетического обобщения исходной задачи.

Пусть имеется многочлен степени $(n)$ с положительными коэффициентами.

$$f=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+\alpha$$

Определение.
Левым полу нормальным делителем $(LPD)$ называется точка, для которой в области $\alpha>(LPD)$ существует не более одной $(TC)^+$, а в области $\alpha<(LPD)$ нет конечных $(TC)^+$. $(TC)^+$ может находится в бесконечно удалённой точке (считаем, что положительная бесконечно удалённая точка единственна).

Пример. $n=2$, $f=x^2+a_1x+\alpha$.

Покажем, что $(LPD)=0$. Т.е. должны выполняться условия:
1). В области $((LPD);(TC)^+_1)$ отсутствуют конечные $(TC)^+$.
2). Область $(-\infty;(LPD))$ не содержит конечных $(TC)^+$.
Условия выполняются. Значит $(LPD)=0$.

Обозначения:

$M_1(f)$-множество уравнений степени $(n)$, имеющих $(LPD)$(значит $n\ge1$).

$M_2(f)$-множество уравнений степени $(n)$ для которых существует $\alpha=(TC)^+$. Значит $n\ge2$.

$M_3(f)$-множество уравнений, для которых при $\alpha>(LPD)$ находится область непрерывная относительно устойчивость\неустойчивость.

Гипотеза.
Многочлены степени $n\ge2$, имеющие $(LPD)$, при $\alpha>(LPD)$ имеют непрерывную область относительно устойчивость\неустойчивость. При $n\ge3$ получится $(LPD)=(TC)^+_1$ (при единственной конечной $(TC)^+$).

Теперь посмотрим внимательно на многочлены степени $(1;2)$ и подумаем, какое ещё свойство можно экстраполировать для многочленов степени $n\ge3$ с положительными коэффициентами, имеющих $(LPD)$.

Обозначения:

$(i)$-количество значений $(\alpha)$, при которых многочлен имеет кратные корни.

$(j)$-количество значений $(\alpha)$, при которых многочлен имеет противоположные корни.

Гипотеза: $i+j\le n$.

При $n=(1;2;3;4)$ гипотеза верна (легко проверить устно).

Вот и задача: для исходного многочлена

$$x^5+ax^4+2(1+b)x^3+a(1+b)x^2+4bx+\alpha=0$$

при $b>1$ докажите, что $i+j\le5$, или опровергните.

У меня получилось $i+j\le5$. Идейно задача очень простая (но громоздкая). Если не ошиблась, то можно усложнить.