Устойчивый многочлен пятой степени с параметрами.

[TR63]

Докажите, что при любых положительных $(a;b;c)$ таких, что $ab>c$, устойчив многочлен пятой степени вида

$$x^5+ax^4+2(1+b)x^3+a(1+b)x^2+4bx+(ab-c)=0$$

(Задача простая, но её можно усложнить, сделав обобщение .)

[worm2]

При $a=b=1$, $c=0$ получается многочлен $x^5+x^4+4x^3+2x^2+4x+1$.
Wolfram утверждает, что у него есть корни $\approx 0.0873103 \pm 1.24098 i$, которые нарушают условие устойчивости (по модулю больше 1 и $\operatorname{Re} > 0$).
Да, я вижу, что $c$ должно быть больше нуля, но если его чуть-чуть увеличить, то и корень чуть-чуть изменится, и устойчивости всё равно не будет.

[Xmas]

Критерий Рауса-Гурвица применять нельзя? Или задача этого не запрещает?

[Xmas]

Кажется, там проблемка посерьёзнее. Вот наш многочлен:

$$ x^5 + ax^4 + 2(1+b)x^3 + a(1+b)x^2 + 4bx + (ab-c) $$

Вот его матрица Гурвица:

\[\begin{vmatrix} a & a(1+b)& ab-c &\cdot &\cdot\\ 1 & 2(1+b)& 4b &\cdot &\cdot\\ \cdot & a & a(1+b) & ab-c &\cdot\\ \cdot & 1 & 2(1+b) & 4b &\cdot\\ \cdot & \cdot & a & a(1+b) & ab-c \\ \end{vmatrix} \]

Вычислять определитель в общем виде - та ещё радость, но можно принять $a=b=1$, $c\in (0;1)$. Тогда определитель становится более дружелюбным:

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1-c & 0 & 0\\ 1 & 4 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 1-c& 0\\ 0 & 1 & 4 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1-c\\ \end{vmatrix} \]

Младшие диагональные миноры положительны. Но определитель всей матрицы - он оказывается равен $(c-1)^3$. Получается, что при всех допустимых по условиям значениях $c$ многочлен неустойчив. Это как-то неожиданно

[TR63]

Xmas в сообщении #1424508 писал(а):

Получается, что при всех допустимых по условиям значениях $c$ многочлен неустойчив

Я вычисляла определители. Получилось, что условия Гурвица выполняются (ошиблась; позже посмотрю, где).
worm, Xmas, спасибо. У меня старший определитель получился равным $[-(1-c)^2]$. Вычисляла по готовой формуле.

[TR63]

В формулировку исходной задачи надо добавить условие $b>2$. Т.е. должно быть так:

TR63 в сообщении #1424487 писал(а):

Докажите, что при любых положительных $(a;b;c)$ таких, что $ab>c$, $b>2$ устойчив многочлен пятой степени вида

$$x^5+ax^4+2(1+b)x^3+a(1+b)x^2+4bx+(ab-c)=0$$

(Задача простая, но её можно усложнить, сделав обобщение .)

Объясню почему так.
Если воспользоваться моей гипотетической теорией устойчивости (многочленов) из "Дискуссионного раздела", то полу устно получим, что при $b>2$ исходный многочлен устойчив. И теорема Гурвица это подтверждает т.к. младшие определители положительны, а старший получается равным

$$[2b(1+b^2)-5b^2]a^2+(2c(1-b)^2+2bc)a-c^2>0$$

,
что верно при $b>2$.
Интрига при обобщении начинается при $b<2$.
Дело в том, что для уравнений третьей и четвёртой степени точка, получаемая по гипотетической технологии (об этом позже; про точку, при которой имеются противоположные корни), является нормальным делителем, т.е. слева и справа от неё имеем (устойчивость\неустойчивость).

Короче, на данный момент надо выяснить, существует ли при $b<2$ устойчивый многочлен пятой степени указанного в условии вида. Т.е. требуется исследовать неравенство при $b<2$ и проверить, действительно ли при $b>2$ многочлен устойчив.

Полезная информация по теореме Гурвица для многочленов пятой степени (взято из учебника)

$$x^5+c_1x^4+c_2x^3+c_3x^2+c_4x+c_5=0$$

Для его устойчивости необходимо и достаточно выполнения условий:
1). $c_1>0$,...,$c_5>0$
2). $c_3<c_1c_2$
3). $c_1c_2c_3+c_1c_5>c_3^2+c_1^2c_4$
4). $c_1c_2c_3c_4+2c_1c_4c_5+c_2c_3c_5>c_3^2c_4+c_1c_2^2c_5+c_1^2c_4^2+c_5^2$

[TR63]

TR63 в сообщении #1424656 писал(а):

надо выяснить, существует ли при $b<2$ устойчивый многочлен пятой степени указанного в условии вида

Ответ: да, существует. Например: $b=1.5$, $a=1$, $c=0.5$.
Получаем, что для исходного многочлена имеется лишь частичная аналогия с многочленами третьей и четвёртой степени. На пятую степень экстраполируется свойство из ограниченной области, что левее точки противоположных корней. Область, что правее, неограниченна, и свойство, аналогичное свойству из ограниченной области ("непрерывность") не экстраполируется. Теорема Гурвица это наблюдение для рассмотренного случая подтверждает. Но будет ли так для произвольного многочлена пятой степени ($c_i>0$) с одной положительной точкой $c_5=\alpha_1^+$, в которой многочлен имеет противоположные корни, вот в чём вопрос. Если есть контрпример, то возможно ли подобрать условие, чтобы такая частичная экстраполяция ограниченной области сохранялась.

[Xmas]

Но всё ж таки скрытые проблемки остаются. Я ради интереса перебрал сочетания $a,b,c$ с шагом 0,1. Если я нигде не ошибся в коде, то картинка соответствует значению действительной части наибольшего корня. Заметно, что область "гурвицевости" (синие оттенки) получается довольно хитрая.



Неподвижная картинка не очень удобна - она лучше работает, когда её можно крутить мышью, делать "вырезки" из середины и прочее.

Если захочется проверить самостоятельно, то я использовал следующую технологию (использованные программы - open-source, свободно гуглятся и скачиваются). Корни многочлена и наибольшая действительная часть корня вычислялись в Maxima. Счёт занимает около минуты. Программка создаёт CSV-файл из 4-х полей: $a,b,c$ и наибольшая из действительных частей корня. Файл был загружен в Paraview и получен цветной кубик. Это уже без всяких скриптов, просто щелчками мыши по желаемым кнопочкам и палитрам. На худой конец, даже Excel принимает CSV и может строить объёмные графики. Возможности у него не особо широкие, но лучше, чем ничего.

Код "Maxima"

/* Исследуемый показатель: наибольшая из действительных частей корней заданного многочлена */

poly(a,b,c):=x^5 +a*x^4 +2*(1+b)*x^3 +a*(1+b)*x^2 +4*b*x +(a*b-c)$

krit(a,b,c):=apply(max,map(lambda([x],realpart(rhs(x))), 
                             allroots(poly(a,b,c))))$

mystep:0.1$
mybound:2.5$

with_stdout("roots.csv",
  for a:0 step mystep while a<=mybound do 
    for b:0 step mystep while b<=mybound do
      for c:0 step mystep while c<=mybound do
   printf(true,"~8,5f,~8,5f,~8,5f,~8,5f~%",
       a,b,c, krit(a,b,c)));

[TR63]

Xmas,
1).

Xmas в сообщении #1424508 писал(а):

определитель всей матрицы - он оказывается равен $(c-1)^3$

У меня старший определитель получился равным

TR63 в сообщении #1424522 писал(а):

получился равным $[-(1-c)^2]$. Вычисляла по готовой формуле.

Вычисляла по готовой формуле из учебника (это пункт 4, см выше).
Наши формулы расходятся. Думаю, что мой расчёт верен (там трудно ошибиться).
2).

Xmas в сообщении #1425008 писал(а):

Но всё ж таки скрытые проблемки остаются.

Какие? Сформулируйте, пожалуйста. По переформулированной исходной задаче я никаких проблем не вижу. С помощью теоремы Гурвица поставленная задача решается. А, если решать моим гипотетическим способом, то она решается полу устно (могу объяснить вычисления, если кому не известна формула Орландо "о противоположных корнях"; вычисления очень простые).
3).График это хорошо. Но я не понимаю, что Вы хотите сказать нового с его помощью именно по предложенной задаче.

[Xmas]

TR63, я Вас не критикую. Судя по параболоиду, или чему-то внешне похожему, которое не к месту вырастает из 4-го или 5-го измерения, проблема вполне может решаться выбором коэффициентов. У нас, видимо, разные приёмы составления определителя Гурвица. В том методе, который использовал я, определитель стоится так: заполняется главная диагональ матрицы, начиная с "предстаршего" коэффициента и до самого младшего. Затем по столбцам вверх, пока хватает места, дописываются коэффициенты, принадлежащие младшим степеням, а вниз - коэффициенты при старших степенях.

Определитель в общем случае получается зависящим от всех коэффициентов,

$$\Delta = (c-ab)(c+ab-2a)(c+ab-2a^2)$$

При $a=b=1$ получается $\Delta=(c-1)^3$. Для точечной проверки удобнее взять $a=b=0$. Тогда получится многочлен $x^5+2x^3-c$ и столько нулей в матрице, что считать почти нечего:
\begin{vmatrix} 0&0&-c&\cdot&\cdot\\ 1&2& 0&\cdot&\cdot\\ \cdot&0&0&-c&\cdot\\ \cdot&1&2&0&\cdot\\ \cdot&\cdot&0&0&-c \end{vmatrix}=-1\cdot \begin{vmatrix} 0&-c&\cdot&\cdot\\ 0& 0& -c & \cdot\\ 1&2&0&\cdot\\ \cdot&0&0&-c\\ \end{vmatrix}= -1\cdot1\cdot\begin{vmatrix} -c&0&0\\ 0&-c&0\\ 0&0&-c\\ \end{vmatrix} = c^3
Я не заявляю, что я не ошибаюсь вообще. Но в последнем примере всё совсем элементарно, в уме видно.

[TR63]

Xmas в сообщении #1425077 писал(а):

TR63, я Вас не критикую.

Пожалуйста, можете критиковать в конструктивной форме, если есть за что. Без обид. Но похоже, что Вы сомневаетесь в формулах, которыми я пользуюсь. Поэтому даю ссылку на них: "Теория автоматического управления" под редакцией чл-кор РАН Ю.М.Соломенцева, издание третье,2000г., Москва (стр. 77). Мне по ним вычислять проще.

Xmas в сообщении #1425077 писал(а):

Тогда получится многочлен $x^5+2x^3-c$ и столько нулей в матрице, что считать почти нечего:

По теореме Стодолы здесь вообще вычислять ничего не надо. Только из одного его вида ясно, что многочлен неустойчив.
Ладно, не будем зацикливаться на вычислениях. Главное, что многочлен при $b>2$ устойчив (Вы согласны?; если нет, приведите контрпример), и это доказывается почти устно как аналитически, если считать, что определители вычислены, так и гипотетически. Т.е. в такой формулировке задача мало интересна. Интересует обобщение.

[Xmas]

Я вычислял для того, чтобы увидеть, $c^3$ или $c^2$ получается. Получилось $c^3$.

То, что при $b>2$ все корни "левые" (с отрицательными действительными частями) - согласен.

[TR63]

TR63 в сообщении #1424656 писал(а):

надо выяснить, существует ли при $b<2$ устойчивый многочлен пятой степени указанного в условии вида.

TR63 в сообщении #1424969 писал(а):

Ответ: да, существует. Например: $b=1.5$, $a=1$, $c=0.5$

Пример ложный. При этих значениях старший определитель равен нулю (посчитала руками). Значит должны быть противоположные корни, т.е. неустойчивость. Проверила на Вольфраме. Сошлось.
Xmas, я правильно поняла график, что при $1<b<2$ многочлен неустойчив (там красный цвет). Если да, то хорошо бы это доказать аналитически (или опровергнуть контрпримером).

[Xmas]

TR63, вот срез плоскости $ab$ при $c=0.5$. Просто для обозрения
Цветная палитра та же, что на прошлом кубике, только интервал взят более узкий, чтобы уменьшить "расплывчатость" вблизи нуля.
Гипербола, отсекающая левый и нижний края, наверняка связана с $ab-c$. При $(ab-c)<0$, понятно, будут корни с $\operatorname{Re}(z)>0$.
Вторая, "продольная", область в районе $b=0.5\ldots2.0$ тянется вправо до бесконечности. Я не знаю, есть ли у неё простая интерпретация. Значения $b=1/2$ и $b=2$, по всей видимости, асимптоты. Точного доказательства я не искал, но пробы методом "грубой силы", до значений параметров $a,b,c<100$ не выловили ни одного случая нарушения этих границ. От значений $c$ границы не зависят, меняется только скорость приближения красной области к этим границам.

[TR63]

Xmas, спасибо.
Теперь вижу на графике при $1<b<2$ смешанный тип устойчивости. И сама нашла подтверждение этого факта при $a=1$, $b=1.5$, $c=1.3$. Вольфрам говорит:
$x_1=-0.03377$
$x_{2;3}=-0.42392\pm1.50995i$
$x_{4;5}=-0.05919\pm1.55043i$
Т.е. имеется устойчивость, а при $a=1$, $b=1.5$, $c=0.5$ неустойчивость (смешанный тип устойчивости в этой области)

TR63 в сообщении #1424969 писал(а):

Получаем, что для исходного многочлена имеется лишь частичная аналогия с многочленами третьей и четвёртой степени. На пятую степень экстраполируется свойство из ограниченной области, что левее точки противоположных корней. Область, что правее, неограниченна, и свойство, аналогичное свойству из ограниченной области ("непрерывность") не экстраполируется. Теорема Гурвица это наблюдение для рассмотренного случая подтверждает. Но будет ли так для произвольного многочлена пятой степени ($c_i>0$) с одной положительной точкой $c_5=\alpha_1^+$, в которой многочлен имеет противоположные корни, вот в чём вопрос. Если есть контрпример, то возможно ли подобрать условие, чтобы такая частичная экстраполяция ограниченной области сохранялась.

Очень интересно, почему непрерывность ограниченной области экстраполируется, а непрерывность неограниченной не экстраполируется. Думаю, что на неё уже не хватает энергии, т.к. необходима мощность не менее $(N?)$, а для ограниченной не более $N$.