метод трапеций и метод Симпсона интегрирования

[Paul Ivanov]

В мат. анализе Зорича I том, VI 3.9c) требуется вывести формулы погрешности приближения определённого интеграла непрерывно-дифференцируемой соответствующее число раз функции определённым интегралом полинома Лагранжа соответствующей степени. А именно погрешности методов прямоугольника, трапеции и Симпсона. С методом прямоугольника, формула которого кстати в учебнике указана неправильно, у меня справиться получилось (последовательно разложил саму функцию в ряд тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и применил первую теорему о среднем для определённого интеграла, воспользовавшись тем, что первая производная по условию непрерывна), а вот как быть с методом трапеции и уж подавно с формулой Пеано для метода Симпсона неясно.
Нужно доказать, что если имеется функция $f(x)$, дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке $[a,b]$ и полином Лагранжа 1 степени $L_1(x)$ построенный на точках $(a,f(a)),(b,f(b))$, то

$$R_2=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx-\int\limits_{a}^{b}L_1(x)dx=-\frac{f''(\xi)}{12}(b-a)^3, \xi \in [a,b]$$

причём определённый интеграл от $L_1(x)$ желательно рассматривать именно в таком представлении: $\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$ (во всяком случае так требуется в учебнике)
Я мог бы убить много часов и попробовать самостоятельно найти решение, но как показывает мой скромный опыт в подобного рода задачах требуется крайне индивидуальный и особый подход, на который мне вряд ли повезёт наткнуться. Хотелось бы вместе с решением для метода трапеции приобрести и направление для вывода формулы Пеано: $R_3=-\frac{f^{(4)}(\xi)}{2880}(b-a)^5$

[thething]

Почитайте вывод во втором томе Фихтенгольца.

[Paul Ivanov]

Я так понимаю, вы имеете в виду второй том основ математического анализа. Буду очень благодарен, если вы дадите прямую наводку, в каком параграфе об этом прочесть, так как не очень ясно, где искать такую специфическую задачу.

[Утундрий]

Paul Ivanov в сообщении #1425946 писал(а):

полином Лагранжа 1 степени $L_1(x)$ построенный на точках $(a,f(a)),(b,f(b))$

Это же надо так кусок прямой обозвать...

Paul Ivanov в сообщении #1425946 писал(а):

Я мог бы убить много часов и попробовать самостоятельно найти решение

Очень здравая мысль. Убейте.

[vpb]

А попробуем для трапеций самостоятельно решить.

1) Вычитая из $f(x)$ подходящую линейную функцию, сведите задачу к случаю, когда $f(a)=f(b)=0$.

2) Знаете, что такое выпуклая функция ? Можно дать два определения: (а) дуга графика всегда лежит под хордой, т.е. всегда $f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$, при $0\leq t\leq1$;
(б) вторая производная неотрицательна. Докажите, что для дважды дифференцируемых функций эти два определения действительно эквивалентны.

(upd. А, это Вы уже знаете...)

3) Допустим, что $f$ выпукла на $[a,b]$, $f(a)=f(b)=0$ и $f''\leq A$. Пусть $g$ --- квадратичная функция, для которой $g(a)=g(b)=0$ и $g''(x)\equiv A$ (т.е. парабола, проходящая через две нужные точки). Вычтя одно из другого, заметьте, что разность $g-f$ выпукла, и выведите отсюда, что график $f$ лежит выше отрезка параболы.

4) Симметрично рассуждая, покажите, что он лежит ниже отрезка некоторой другой параболы, при условии $f''\geq B$.

5) Подумайте, как завершить доказательство. Используйте, что вторая производная непрерывна, значит принимает на отрезке любое значение между своим максимумом и минимумом.

А можно применить интегрирование по частям (это стандартный путь).
В Фихтенгольце второй том в трехтомнике, откройте содержание, там всё написано.

-- 15.11.2019, 01:58 --

Paul Ivanov в сообщении #1425946 писал(а):

Я мог бы убить много часов и попробовать самостоятельно найти решение,

В Зориче задачи после параграфов попадаются довольно трудные, не стоит всегда надрываться их решать лбом об стену.

[Paul Ivanov]

Спасибо, разобрался.