А попробуем для трапеций самостоятельно решить.
1) Вычитая из
подходящую линейную функцию, сведите задачу к случаю, когда
.
2) Знаете, что такое выпуклая функция ? Можно дать два определения: (а) дуга графика всегда лежит под хордой, т.е. всегда
, при
;
(б) вторая производная неотрицательна. Докажите, что для дважды дифференцируемых функций эти два определения действительно эквивалентны.
(upd. А, это Вы уже знаете...)
3) Допустим, что
выпукла на
,
и
. Пусть
--- квадратичная функция, для которой
и
(т.е. парабола, проходящая через две нужные точки). Вычтя одно из другого, заметьте, что разность
выпукла, и выведите отсюда, что график
лежит выше отрезка параболы.
4) Симметрично рассуждая, покажите, что он лежит ниже отрезка некоторой другой параболы, при условии
.
5) Подумайте, как завершить доказательство. Используйте, что вторая производная непрерывна, значит принимает на отрезке любое значение между своим максимумом и минимумом.
А можно применить интегрирование по частям (это стандартный путь).
В Фихтенгольце второй том в трехтомнике, откройте содержание, там всё написано.
-- 15.11.2019, 01:58 --Я мог бы убить много часов и попробовать самостоятельно найти решение,
В Зориче задачи после параграфов попадаются довольно трудные, не стоит всегда надрываться их решать лбом об стену.