Множество всех значений функции Зорич

[p0jit0h]

oleg.k
можно тогда сказать что функция это множество состоящее из X, Y и f ?)

[oleg.k]

p0jit0h в сообщении #1425764 писал(а):

а можно сказать что функция это множество состоящее из X, Y и f ?)

Я видел и так и не так. Кто-то определяет функцию, как множество упорядоченных пар, кто-то как неупорядоченную тройку, кто-то как упорядоченную тройку. Кто-то вообще не дает строгого определения функции, довольствуясь "каждому элементу множества $X$ по некоторому правилу...". Это все не сильно принципиально. Но все же какое-то определение выбрать надо. По Зоричу, например, функция = ее график (что лично мне не очень удобно).

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1425753 писал(а):

И имхо не очень хорошее. И вообще, общепринятое ли оно?

Настолько, насколько общеприняты множества как основание (широко). Но какое ещё нормальное не-обязательно-конструктивное (а классической математике такие нужны) определение функции, кроме как её графиком, можно устроить?.. Ни «правило сопоставления», ни вычислительная процедура не годятся — одно тёмное, другое узкое.

-- Ср ноя 13, 2019 20:38:22 --

p0jit0h в сообщении #1425764 писал(а):

можно тогда сказать что функция это множество состоящее из X, Y и f ?)

Не, это неправильно. Вам нужна упорядоченная тройка, которая:
• на нормальном уровне — просто некая штука такая, что $(a, b, c) = (a', b', c')$ влечёт $a = a', b = b', c = c'$;
• на чуть более низком уровне может быть определена через упорядоченные пары или как функция с областью определения $(1, 2, 3)$;
• ну а на совсем низком может быть определена прямо через множества или на чём там мы основываемся.

oleg.k в сообщении #1425770 писал(а):

кто-то как неупорядоченную тройку

Кто так делает и зачем? Если мы указываем и область определения, и область значений, нам надо их как-то иметь возможность отделить.

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1425779 писал(а):

Но какое ещё нормальное не-обязательно-конструктивное (а классической математике такие нужны) определение функции, кроме как её графиком, можно устроить?

Как упорядоченная или неупорядоченная тройка.

[arseniiv]

Да, я выше дополнил (и добавил недоумение по поводу неупорядоченной тройки). Определения через график и через тройку/пару — это в принципе вообще одно и то же, просто мы немного по-разному будем называть вещи.

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1425779 писал(а):

Кто так делает и зачем? Если мы указываем и область определения, и область значений, нам надо их как-то иметь возможность отделить.

Кто делает - не помню, зачем - не знаю Если найду пруф - выложу.

Я, например, мыслю функцию как упорядоченную тройку. Неупорядоченная мне тоже не нравится.

А зачем их собственно отделять?

-- 13.11.2019, 18:48 --

Просто даже если и назвать функцией неупорядоченную тройку, что это усложнит? Это же все исключительно формальные вещи. "Правила/соответствия" вполне достаточно, чтобы передать любое математическое содержание.

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1425784 писал(а):

Кто делает - не помню, зачем - не знаю Если найду пруф - выложу.

Я что-то очень подозреваю, что это у вас вышла аберрация памяти, ибо я такого ни разу не встречал (в нормальной литературе).

oleg.k в сообщении #1425784 писал(а):

А зачем их собственно отделять?

Ну, я имел в виду, что у нас должна быть возможность узнать в точности, какая область определения и какая область значений, а с неупорядоченной тройкой это возможно не всегда, да и я опасаюсь, что без аксиомы фундирования (например; в сущности-то она не нужна) возможны экзотические случаи, когда их можно будет перепутать и с графиком (в точности не проверял, может по счастью оказаться не так).

Вот кстати вдогонку к предпредыдущему про тройки: обязательное сведение к множествам портит красивую ситуацию с пониманием упорядоченных $n$-к как функций из $1..n$, потому что возникает проблема курицы и яйца и прочие дьяволы вылезают из деталей, а всё из-за того что мы хотим считать декартово произведение не по модулю изоморфизма (как будет, если ехать через теоркат; тогда у нас произведение нескольких объектов — это не просто объект, это объект вместе с проекциями из него в сомножители и способом построения пар функций, то есть целая уйма вещей, позволяющая нам при возможности сменить один «представитель произведения» (и пар) на другой и ничего не потерять).

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1425785 писал(а):

Я что-то очень подозреваю, что это у вас вышла аберрация памяти, ибо я такого ни разу не встречал (в нормальной литературе).

Да, очень возможно. Я уже и сам сомневаюсь. Просто где-то видел фразу наподобие: "не следует отождествлять график функции с самой функцией", т.к. график типа ее подмножество. А это ни разу не так, если определять функцию, как упорядоченную тройку. А если определять как множество упорядоченных пар, то отождествлять таки нужно. Вобщем очень вероятно, что это мое когнитивное искажение.

arseniiv в сообщении #1425785 писал(а):

а с неупорядоченной тройкой это возможно не всегда, да и я опасаюсь, что без аксиомы фундирования (например; в сущности-то она не нужна) возможны экзотические случаи, когда их можно будет перепутать и с графиком (в точности не проверял, может по счастью оказаться не так).

Да, есть риск, что, например, график и домен совпадут и тройка превратиться в двойку. Но это же может произойти и с аксиомой фундирования?

-- 13.11.2019, 19:17 --

Стоп. Не совпадут же.

[Lia]

p0jit0h
Замечание за дублирование темы из Карантина. Дублирующее сообщение удалено.

[eugensk]

oleg.k в сообщении #1425753 писал(а):

А я то тут при чем? Это ТС-у надо этот вопрос задать.

Вы на первый лихо ответили, я и подбросил еще.

[oleg.k]

И не могли бы Вы чуть подробнее рассказать про это:

arseniiv в сообщении #1425785 писал(а):

без аксиомы фундирования (например; в сущности-то она не нужна)

Из нее же следует, что множество не содержит себя в качестве своего элемента. А это ровно то, на чем все основные парадоксы (тот же Рассел) основываются.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1425795 писал(а):

А это ровно то, на чем все основные парадоксы (тот же Рассел) основываются

Нет, парадокс Рассела основан на неограниченной аксиоме выделения - что для любого утверждения со свободным параметром все объекты, для которых это утверждение выполнено, образуют множество. И чтобы от него избавиться нужно в первую очередь выкинуть неограниченную аксиому выделения - просто добавлением новых аксиом противоречие убрать нельзя.
(точнее не убрать, а заменить на более слабое утверждение - совсем без аксиомы выделения неинтересная теория получается)

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1425791 писал(а):

Просто где-то видел фразу наподобие: "не следует отождествлять график функции с самой функцией", т.к. график типа ее подмножество.

А, ну такое не должно бы обозначать, что это именно подмножество — просто в некотором смысле часть данных.

oleg.k в сообщении #1425791 писал(а):

Да, есть риск, что, например, график и домен совпадут и тройка превратиться в двойку. Но это же может произойти и с аксиомой фундирования?

То, что она будет двойкой, или даже синглетоном, как раз не важно , а вот то, что мы можем не суметь там найти, кто есть кто, хотя мне лень проверять. Но если $x = \{\{x\}, \{x, y\}\} =: (x, y)$, то $\{x\} = \{x\}\times\{y\}$, и да, мы можем тогда спутать область определения с графиком. Не уверен, что мы можем доказать существование такого $x$ в ZFC−R (по крайней мере основные аксиомы существования такие объекты не строят), но и противоречия оно (без R) не даст…