Множество всех значений функции Зорич

[p0jit0h]

Добрый день, у Зорича есть определение множества всех значений функции (стр. 14)

$$f(X) := \left\lbrace y \in Y | \exists x (( x \in X ) \wedge (y = f(x)))\right\rbrace$$

Но под это определение подходит и множество состоящее из одного значения функции. Почему в определении написано всех ?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

Нет, не подходит. Правая часть расшифровывается так: множество состоит из всех $y$, таких, что существует $x$ из $X$, таких, что $f(x) = y$. Такое множество единственно, и состоит из всех значений функции.
Рассмотрите, например, функцию $f(x) = x + 1$, множество $X = \{1, 5\}$ и проверьте, что $2$ и $6$ принадлежат $f(X)$, а $3$, $5$ и $7$ - нет - просто подставьте эти числа вместо $y$ в часть после $|$ справа от знака равенства и посмотрите, что получится.

[p0jit0h]

mihaild
большое спасибо

[Утундрий]

(Оффтоп)

Гм... Является ли множество всех значений функции значением какой-то функции?

[oleg.k]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1425631 писал(а):

Гм... Является ли множество всех значений функции значением какой-то функции?

Ну пусть есть $f: X \to Y, f(X) \subset Y$ Можно рассмотреть функцию $g: X \to \{f(X)\}$ Функция $g$ удовлетворяет Вашему требованию, так?

[eugensk]

(Оффтоп)

oleg.k А может ли функция на некотором множестве быть множеством некоторых функции?

[p0jit0h]

(Оффтоп)

а функция может быть множеством?

[eugensk]

p0jit0h
Функция это множество упорядоченных пар, а упорядоченная пара $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$ (по-Куратовскому). Так что вопрос, скорее, может ли пара быть фунцией?

[arseniiv]

eugensk в сообщении #1425706 писал(а):

а упорядоченная пара это множество специального вида

Только ради удобства теоретико-множественных построений. Их стоило бы отделять от общематематического рукомахательного понимания упорядоченной пары (и от категорного строгого понятия произведения, формализующего пары, но при этом не говорящего, что они должны быть множествами). А то потом люди начинают искать конец клубка, у которого нет конца, думая, что им станет лучше.

-- Ср ноя 13, 2019 17:40:54 --

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1425631 писал(а):

Гм... Является ли множество всех значений функции значением какой-то функции?

Чем не подходит как раз та функция класс $\operatorname{im}$, которая берёт функцию и выдаёт её образ? Функцией-множеством она быть не может, если только мы не ограничимся рассмотрением узкого класса функций, образы которых интересны.

[eugensk]

Всё так, ТС не следует заморачиваться с определением пары через множества, в Зориче это где-то в упражнениях, не в основном тексте.
Просто показалось забавным, как каламбур может оказаться задачей.

[oleg.k]

eugensk в сообщении #1425694 писал(а):

oleg.k А может ли функция на некотором множестве быть множеством некоторых функции?

А я то тут при чем? Это ТС-у надо этот вопрос задать.

eugensk в сообщении #1425706 писал(а):

Функция это множество упорядоченных пар

Это одно из определений функции (основанное на понятии множества). И имхо не очень хорошее. И вообще, общепринятое ли оно?

-- 13.11.2019, 17:21 --

eugensk в сообщении #1425706 писал(а):

Так что вопрос, скорее, может ли пара быть фунцией?

Тоже хороший вопрос для ТС-а.

[p0jit0h]

Разве функция это не связка X, Y, f?

[oleg.k]

p0jit0h в сообщении #1425762 писал(а):

Разве функция это не связка X, Y, f?

А что такое связка?