2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Concrete Math Sum 1
Сообщение11.11.2019, 16:02 


01/08/19
95
Calculate: $$\sum_{k\in S}3^{-k}$$ $S$ is a set of all natural numbers that aren't divisible by either 2,3 or 5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Concrete Math Sum 1
Сообщение04.12.2019, 20:05 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
For any subset $T\subseteq\mathbb{Z}_{\geq 0}$, define
$$f(T) := \sum_{k\in T} 3^{-k}.$$

Computing $f(S)$ can be easily done by inclusion-exclusion:
$$f(S) = f(D_1) - f(D_2) - f(D_3) - f(D_5) + f(D_6) + f(D_{10}) + f(D_{15}) - f(D_{30}),$$
where $D_n$ is the subset of $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ formed by multiples of $n$ (in particular, $D_1=\mathbb{Z}_{\geq 0}$). Namely, we have
$$f(D_n) = \frac{1}{1-3^{-n}},$$
from which the value of $f(S)$ follows instantly.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group