2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение10.11.2019, 16:10 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
bot в сообщении #1425020 писал(а):
5. На плоскости расположены две различные точки $B$ и $C.$ Взяв произвольно точку $A_0$, построим последовательность точек $A_n$ по правилу:
$$\begin{matrix}A_{n+1}\,\,\text{ - середина}\,\, CA_n\,\, \text{при}\,\,n\,\,  \text{нечётном}\\
A_{n+1}\,\,\text{ - середина}\,\, BA_n\,\, \text{при}\,\,n\,\,  \text{чётном}\end{matrix}$$
Докажите сходимость и найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\mid A_nA_{n+1}\mid.$
$1/3$, можно координатным методом

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение10.11.2019, 16:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
bot в сообщении #1425020 писал(а):
4. Докажите, что определитель целочисленной симметрической матрицы нечётного порядка с чётными числами на главной диагонали является чётным числом.
Над полем $\mathbb{Z}_2$ эта матрица будет антисимметрической. А, как известно, определитель антисимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение10.11.2019, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
bot в сообщении #1425020 писал(а):
1. Сходится ли ряд $$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln^21+\ln^22+\ldots +\ln^2 n}?$$

Представим ряд в виде $$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}\cdot\frac{n\ln^2 n}{\sum\limits_{k=1}^{n}\ln^2k}.$$
С помощью теоремы Штольца, легко показывается, что $$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{n\ln^2n}{\sum\limits_{k=1}^{n}\ln^2k}=1.$$
Дальше -- предельный признак сравнения с известным рядом $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}$, который сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение10.11.2019, 16:38 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
thething в сообщении #1425046 писал(а):
С помощью теоремы Штольца
Можно и без нее: $\ln^2{1}+\ldots+\ln^2{n}>\ln^2{(n/2)}+\ldots+\ln^2{n}>n/2 \cdot \ln^2{(n/2)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение10.11.2019, 17:38 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
3. Сколько действительных корней имеет уравнение $ 1+\frac x 1+\ldots +\frac {x^n}n=0?$


Обозначим функцию в левой части равенства $f(x), f'(x)=1+x+\ldots +x^{n-1}$. При $n$ нечетном всюду $f'(x)>0$, поэтому $f(x)$ имеет один корень.
При $n$ четном $f'(x)<0$ при $x<-1, f'(x)> 0$ при $x>-1, f(-1)=0$ , поэтому также только один корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение10.11.2019, 17:59 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
mihiv в сообщении #1425061 писал(а):
При $n$ четном $f'(x)<0$ при $x<-1, f'(x)> 0$ при $x>-1, f(-1)=0$ , поэтому также только один корень.
В этом случае ни одного корня, т.к. $f(-1)>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение10.11.2019, 18:15 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
bot в сообщении #1425020 писал(а):
2. Пусть функция $f$ непрерывна на множестве действительных чисел. Докажите, что уравнение $f(x^2)+2x^2=f(3x-2)+3x$ имеет решение.

При $x=1$ левая часть меньше правой, а при $x=2$ - больше. Значит, решение есть.

-- 10.11.2019, 20:17 --

bot в сообщении #1425020 писал(а):
Пусть $A^3=0$ для квадратной матрицы $A.$ Докажите, что матрица $A+\lambda E$ вырождена тогда и только тогда, когда $\lambda=0$.

Все собственные значения матрицы $A$ равны нулю. Значит, ненулевых собственных значений у нее нет :D

-- 10.11.2019, 20:23 --

bot в сообщении #1425020 писал(а):
5. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника $ABCD$ не превосходит $$\frac{\mid AB\mid\cdot \mid CD\mid + \mid AD\mid\cdot \mid BC\mid}2.$$

Это - известная задача:
Площадь треугольника не превышает половины произведения его "катетов".
Значит, площадь чет-ка со сторонами $a,b,c,d$ не превышает $\frac{ab+cd}{2}$.
Отрежем от чет-ка $ ABCD$ тр-к $ABC$ , перевернем, и приложим к $ACD$ по диагонали $AC$: из предыдущего получим требуемое.

-- 10.11.2019, 20:43 --

bot в сообщении #1425020 писал(а):
1. Найдите период повторения последней цифры в последовательности Фибоначчи
$$F_1=F_2=1,\, F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}\,\, (n>1).$$

Тупое писание цифр привело к первому повторению на $T=59$, что как то непонятно и не лезет в ворота....

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение10.11.2019, 19:31 


20/04/10
1776
DeBill в сообщении #1425069 писал(а):
Тупое писание цифр привело к первому повторению на $T=59$, что как то непонятно и не лезет в ворота....

Для периода последовательности $\left\{F_k \bmod{p}\right\}$ по простому модулю $p$ справедливо следующее $\pi(p)\mid p( p^2-1)$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Pisano_period). Также можно использовать $\pi(10)=\mathrm{lcm}\left(\pi(2), \pi(5)\rhigt)$. У меня машина выдала $\pi(10)=60$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение10.11.2019, 19:53 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
bot в сообщении #1425020 писал(а):
4. Пусть $x_i=\pm 1,\, i=1,2,\ldots, n$ и $$x_1x_2x_3x_4+x_2x_3x_4x_5+\ldots+x_{n-1}x_{n}x_1x_{2}+x_{n}x_{1}x_2x_{3}=0.$$

Всего слагаемых $n$, каждое - плюс-минус один, значит, $n$ четно.
Если сумма равна 0, то половина слагаемых в ней равна 1, а половина равна -1. Посчитаем вхождения отрицательных $x_i$ в эти слагаемые. В слагаемое "+1" отрицательные входят в четном количестве, в слагаемые "-1" - в нечетном. Но каждое отрицательное $x_i$ входит в эти слагаемые четырежды, так что отрицательных слагаемых - четное число (т.е., $\frac{n}{2}$ - четно). Значит , $n$ кратно 4.
Пример для $n=8k$: минус один - все, кратные 8 (тогда последовательно будет четверка минусов, четверка плюсов - сошлось).
Пример для $n=8k+4$ (конкретно - для 12) : $+ + + + - + + + + + - -$, в общем случае - вроде, надо добавлять восьмерки с одним минусом....Короче, дурной какой-то пример...

-- 10.11.2019, 22:11 --

lel0lel в сообщении #1425081 писал(а):
У меня машина выдала $\pi(10)=60$

Во, это в ворота - лезет (таки тупой счет - вреден, мелкая неаккуратность приводит к лаже...)

-- 10.11.2019, 22:15 --

lel0lel в сообщении #1425081 писал(а):
$\pi(10)=\mathrm{lcm}\left(\pi(2), \pi(5)\rhigt)$.

А, вот так и надо было делать!...

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение11.11.2019, 00:34 


20/04/10
1776
bot в сообщении #1425020 писал(а):
4. Докажите, что определитель целочисленной симметрической матрицы нечётного порядка с чётными числами на главной диагонали является чётным числом.

След чётный следовательно у матрицы нечётного порядка есть хотя бы одно чётное собственное значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение11.11.2019, 01:42 


20/04/10
1776
Upd: эх, глупость выше написал. Из чётности следа не следует чётность собственных значений, они же целыми могут не быть в общем случае

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение11.11.2019, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
bot в сообщении #1425020 писал(а):
4. Докажите, что определитель целочисленной симметрической матрицы нечётного порядка с чётными числами на главной диагонали является чётным числом.

Определитель - это сумма всевозможных произведений (по одному элементу из столбца и строки).
Если произведение имеет симметричного (по индексам) двойника, то их сумма четна.
Если произведение симметрично самому себе (двойника нет), то оно содержит диагональный элемент (из-за нечетности!).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение11.11.2019, 13:37 


20/04/10
1776
bot в сообщении #1425020 писал(а):
5. Докажите, что из 50 различных трёхзначных чисел можно выбрать четыре различных числа $a, b, c, d$, для которых выполняется равенство $a + b = c + d.$

Что-то короткое решение у меня получается, быть может оно ошибочное, просьба проверить.
Из 50 различных трёхзначных чисел можно составить $50\cdot 49/2=1225$ положительных разностей, они принадлежат интервалу от 1 до 899. Если предположить что для различных $a, b, c, d$ верно $a + b \ne c + d$, то большинство разностей будут различные, так как $a-c \ne d-b$. Среди полученных 1225 разностей могут находиться равные только если $a-c = c-b$, то есть когда одно из 50 заданных чисел является средним арифметическим двух других. Но для каждого числа из 50 (кроме наименьшего и наибольшего) такая ситуация возможна только один раз, так как иначе из $a_1-c= c-b_1$ и $a_2-c = c-b_2$ следует $a_1+b_1=a_2+b_2$, а это противоречит предположению. Следовательно равных разностей не более чем 48, поэтому различных разностей 1225-48>899, а это невозможно.
TOTAL в сообщении #1425236 писал(а):
Определитель - это сумма всевозможных произведений (по одному элементу из столбца и строки).
О, спасибо, а то я пол дня голову ломаю хожу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение13.11.2019, 08:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
bot в сообщении #1425020 писал(а):
3. Пусть непрерывная на отрезке $[0;1]$ функция $f$ положительна во внутренних точках и обращается в ноль на концах. Докажите, что существует квадрат, две вершины которого лежат на оси абсцисс, а две другие - на графике $y=f(x).$

Вне отрезка доопределим $f(x)$ нулем.
Функция $g(x)=f(x+f(x))$ непрерывна и пробегает на отрезке те же значения, что и функция $f(x)$.
Поэтому где-то внутри отрезка $f(t)=f(t+f(t))$
$f(x)$ максимум наступает и заканчивается позже)

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)
Сообщение21.11.2019, 18:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bot в сообщении #1425020 писал(а):
2. Пусть непрерывная на $[a;b]$ функция $f$ строго возрастает. Докажите, что для любого $c\in (a;b)$ справедливо неравенство
$$\frac{1}{c-a}\int\limits_a^cf(x)\,dx<\frac{1}{b-a}\int\limits_a^bf(x)\,dx\,.$$

Среднее значение функции не меняется при сжатии её графика по горизонтали (с одновременным сжатием промежутка усреднения, естественно). Подожмём справа промежуток $[a;b]$ до $[a;c]$ -- подынтегральная функция в правой части окажется строго больше, чем в левой, ч.т.д.

(Условие несколько избыточно -- можно убрать и строгость монотонности, и требование непрерывности. Правда, при этом технически усложнится доказательство и/или формулировка.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group