Доверительный интервал для стандартного отклонения

[upgrade]

igor_ivanov

igor_ivanov в сообщении #1425099 писал(а):

Для выборок я вычисляю выборочное стандартное отклонение $S$, а не $\sigma$.

igor_ivanov в сообщении #1424978 писал(а):

Затем с определённым шагом (например, 0.01) меняю $\sigma$ и выполняю п. 1-4. Таким образом, получаю распределение $P(\sigma)$ при $n=3$ и $S=1$ в заданном интервале $\sigma$.

Присвоили $\sigma=0,01$
сгенерировали выборку с ней, посчитали $S_1$
Присвоили $\sigma=0,02$
сгенерировали выборку с ней, посчитали $S_2$
Присвоили $\sigma=0,03$
сгенерировали выборку с ней, посчитали $S_3$
...
?

[igor_ivanov]

Geen в сообщении #1425101 писал(а):

И что Вы в данном случае называете вероятностью?

Вот задача: в урне пять шаров, среди которых, не менее одного белого, остальные – чёрные; из урны извлекли два шара, которые оказались чёрными.

Вопрос: сколько белых шаров в урне?

Ответ: дать ответ, что $N$ равно конкретному числу нельзя, поскольку в задаче недостаточно для этого информации; поэтому вопрос «сколько белых шаров в урне?» нужно понимать как «оценить количество белых шаров в урне»; и вот тут появляется функция $P(N)$ как вероятность того, что в урне $N$ белых шаров, где $N$ принимает значения от $0$ до $5$.

[Otta]

igor_ivanov в сообщении #1425104 писал(а):

где $N$ принимает значения от $0$ до $5$.

От одного до трех. Стандартная задача на условную вероятность.
Но раз от одного до трех - где фиксированность?

[Geen]

igor_ivanov в сообщении #1425104 писал(а):

вот тут появляется функция $P(N)$

Не появляется. Точнее, она не имеет никакого отношения к "вероятности количества белых шаров".

[igor_ivanov]

upgrade в сообщении #1425103 писал(а):

Присвоили $\sigma=0,01$
сгенерировали выборку с ней, посчитали $S_1$...?

1) Генерирую $10^{6}$ выборок с $\mu=100$, $n=3$ и $\sigma=0.01$; считаю количество выборок с $0.99 < S < 1.01$;
2) Увеличиваю $\sigma$ на $0.01$ и снова перехожу к п. 1;
3) Продолжаю выполнять п. 1-2, пока $\sigma<50$. Затем останавливаюсь и строю по полученным данным зависимость $P(\sigma$)$ - зависимость количества выборок с $0.99 < S < 1.01$ от значения $\sigma$.

[Geen]

igor_ivanov в сообщении #1425107 писал(а):

Генерирую $10^{6}$ выборок

Кстати, (не совсем по теме; просто для порядка спрашиваю), а каким софтом/ГПСЧ?

[igor_ivanov]

Otta в сообщении #1425105 писал(а):

Но раз от одного до трех - где фиксированность?

Как я говорил ранее, количество шаров в урне фиксировано. Не фиксирована оценка их количества. Но это не потому, что количество шаров величина случайная, а потому, что в условии задачи недостаточно информации для точного вычисления их количества.

-- 10.11.2019, 23:18 --

Geen в сообщении #1425109 писал(а):

Кстати, (не совсем по теме; просто для порядка спрашиваю), а каким софтом/ГПСЧ?

Если нужно просто сгенерировать набор случайных нормально распределённых величин и выполнить с ними простейшие операции, я использую в Excel 2016 функцию

=НОРМ.ОБР(СЛЧИС();mu;sigma)

Для более сложных расчётов использую Python.

P.S. Сейчас я ложусь спать. Продолжу обсуждение завтра.

[--mS--]

igor_ivanov в сообщении #1425104 писал(а):

Ответ: дать ответ, что $N$ равно конкретному числу нельзя, поскольку в задаче недостаточно для этого информации; поэтому вопрос «сколько белых шаров в урне?» нужно понимать как «оценить количество белых шаров в урне»; и вот тут появляется функция $P(N)$ как вероятность того, что в урне $N$ белых шаров, где $N$ принимает значения от $0$ до $5$.

Не появляется. Чтобы найти вероятность того, что в урне $N$ белых шаров при условии, что вынули два чёрных шара, в задаче не хватает данных. Изучите формулу Байеса и увидите, что для такого вопроса должны быть заранее заданы априорные (до опыта!) вероятности иметь $1,2,3,4,5$ белых шаров. Т.е. исходное число $N$ белых шаров в урне должно быть величиной случайной. Если оно неизвестно, но неслучайно, или если априорных вероятностей нет, ни о каких вероятностях иметь сколько-то белых шаров после извлечения двух чёрных не может быть и речи.

Совсем другое дело - если вопрос ставится об оценке неизвестного числа белых шаров в урне по результатам опыта (а не о каких-то там вероятностях). Есть метод моментов, есть метод максимального правдоподобия нахождения оценки неизвестного параметра. Если в урне было $N\geqslant 1$ белых шаров, то (поправленная с учётом $N\geqslant 1$) оценка метода моментов для $N$ по выборке из двух чёрных шаров равна $1$. И оценка максимального правдоподобия для $N$ тоже равна $1$, поскольку именно при этом значении $N$ вероятность получить два чёрных шара, очевидно, наибольшая.

[igor_ivanov]

--mS-- в сообщении #1425166 писал(а):

Чтобы найти вероятность того, что в урне $N$ белых шаров при условии, что вынули два чёрных шара, в задаче не хватает данных.

Рассмотрим три случая.

Если в урне $N=1$ белый шар, вероятность вытащить два чёрных шара $P(1)=0.6$.
Если в урне $N=2$ белых шара, вероятность вытащить два чёрных шара $P(2)=0.3$.
Если в урне $N=3$ белых шара, вероятность вытащить два чёрных шара $P(3)=0.1$.

По-моему, вероятность вытащить из урны два чёрных шара равна вероятности того, что в урне $N$ белых шаров, то есть $P(N)$.

[Otta]

igor_ivanov в сообщении #1425188 писал(а):

По-моему, вероятность вытащить из урны два чёрных шара равна вероятности того, что в урне $N$ белых шаров, то есть $P(N)$.

Почему?

[igor_ivanov]

Фразу «вероятность вытащить из урны два чёрных шара» корректнее заменить на фразу «вероятность вытащить из урны ни одного белого шара».

А в общем случае, по-моему, можно сказать, что вероятность вытащить из урны $(M-L)$ шаров, где $M$ – объём выборки, а $L$ – количество белых шаров в выборке, равна вероятности того, что $N$ шаров в урне белые, то есть $P(N)$.

Otta в сообщении #1425190 писал(а):

Почему?

Вот здесь я теряюсь, поскольку это кажется очевидным. Конечно, я могу ошибаться.

[upgrade]

igor_ivanov в сообщении #1425107 писал(а):

1) Генерирую $10^{6}$ выборок с $\mu=100$, $n=3$ и $\sigma=0.01$; считаю количество выборок с $0.99 < S < 1.01$;

Т.е. у вас получается так:
Выборка $1$
$1,2,3$
Выборка $2$
$2,1,3$
...
Выборка $10^6$
$1,2,3$

для каждой вычисляется $S$
затем $\sigma=\sigma+0.01$
повторить

igor_ivanov в сообщении #1425107 писал(а):

Затем останавливаюсь и строю по полученным данным зависимость $P(\sigma)$ - зависимость количества выборок с $0.99 < S < 1.01$ от значения $\sigma$.

По горизонтали - количество $S$, которые попали в диапазон, по вертикали - при каких $\sigma$ это произошло.

[--mS--]

igor_ivanov в сообщении #1425188 писал(а):

Если в урне $N=1$ белый шар, вероятность вытащить два чёрных шара $P(1)=0.6$.
Если в урне $N=2$ белых шара, вероятность вытащить два чёрных шара $P(2)=0.3$.
Если в урне $N=3$ белых шара, вероятность вытащить два чёрных шара $P(3)=0.1$.

По-моему, вероятность вытащить из урны два чёрных шара равна вероятности того, что в урне $N$ белых шаров, то есть $P(N)$.

А давайте-ка вместо пяти шаров возьмём шесть с теми же условиями
Если в урне $N=1$ белый шар и $5$ чёрных, вероятность вытащить два чёрных шара $P(1)=\frac{10}{15}$.
Если в урне $N=2$ белых шара и $4$ чёрных, вероятность вытащить два чёрных шара $P(2)=\frac{6}{15}$.
Если в урне $N=3$ белых шара и $3$ чёрных, вероятность вытащить два чёрных шара $P(3)=\frac{3}{15}$.
Если в урне $N=4$ белых шара и $2$ чёрных, вероятность вытащить два чёрных шара $P(4)=\frac{1}{15}$.

Вы продолжите считать, что в урне изначально было $N$ белых шаров с вероятностями $P(N)$, сумма которых $\frac{20}{15}$?

Вероятности иметь в урне изначально сколько-то белых шаров не могут быть найдены по результатам экспериментов над этой урной. Они рождаются в каком-то внешнем опыте: кто-то делал для Вас урну - например, так: подбросил пять раз монетку и сколько гербов выпало, столько белых шаров в урны положил. Или так: была большая урна с белыми и чёрными шарами в известном числе, из неё достали пять и положили в Вашу урну. Или так: кто-то от фонаря разбил единичный отрезок на пять частей, а потом выбрал на нём случайную точку. В какую часть точка угодила, столько белых шаров и положили. И вариантов тут множество.

[igor_ivanov]

--mS-- в сообщении #1425198 писал(а):

Вы продолжите считать, что в урне изначально было $N$ белых шаров с вероятностями $P(N)$, сумма которых $\frac{20}{15}$?

Я бы нормировал на единицу, то есть разделил бы каждую $P(N)$ на их сумму.

--mS-- в сообщении #1425198 писал(а):

Вероятности иметь в урне изначально сколько-то белых шаров не могут быть найдены по результатам экспериментов над этой урной. Они рождаются в каком-то внешнем опыте.

Кажется, я начал понимать. Сформулирую задачу иначе.

Генеральная совокупность состоит из урн трёх видов, количество которых одинаково. В первом виде урн один белый и четыре чёрных шара, во втором – два белых и три чёрных шара, в третьем – три белых и два чёрных шара. Из генеральной совокупности случайным образом извлекли одну урну, а из урны тоже случайным образом извлекли два шара, оказавшихся чёрными. С какой вероятностью $P(N)$ извлечённая урна принадлежит виду $N$, где $N=1,2,3$.

Корректно ли сформулирована данная задача? Если да, правильно ли моё решение: $P(1)=0.6, P(2)=0.3, P(3)=0.1$?

-- 11.11.2019, 14:01 --

upgrade в сообщении #1425196 писал(а):

Т.е. у вас получается так:
Выборка $1$
$1,2,3$
Выборка $2$
$2,1,3$
...
Выборка $10^6$
$1,2,3$

То, что Вы описали, похоже на копию одной выборки с перестановкой элементов в ней. У меня каждый элемент выборки – случайная нормально распределённая величина. Выборки, конечно, могут повторяться, но это редкость.

upgrade в сообщении #1425196 писал(а):

По горизонтали - количество $S$, которые попали в диапазон, по вертикали - при каких $\sigma$ это произошло.

По горизонтали – значения $\sigma$ с шагом $0.01$, по вертикали – количество выборок с $0.99 < S < 1.01$ при данном $\sigma$.

[Geen]

igor_ivanov в сообщении #1425221 писал(а):

Если да, правильно ли моё решение

Как пишут в фильмах: "все совпадения случайны" - решение-то где?