Ускорение Кориолиса на Земле

[VitDer]

Добрый вечер, уважаемые участники форума!
Вопрос, казалось, бы стар как сам мир. Во многих задачах Землю можно считать инерциальной системой отсчёта (ИСО). Если мы хотим учитывать её вращение, то, в соответствии с теоремами о сложении движений, необходимо добавить силы инерции. Пусть $a'$ - ускорение точки относительно Земли. Пусть $a$ - её абсолютное ускорение в ИСО. Будут справедливы равенства: $a =[w[wr']]+2[wv']+a' $, где $r'$ - радиус-вектор точки в земной (вращающейся) СО, $v'$ - вектор скорости относительно Земли. По характеру решаемой задачи, интерес представляют только силы, действующие в плоскости горизонта (касательная плоскость к Земному шару в точке), и $[w[wr']]\approx0$. Остаётся ускорение Кориолиса. Его значение для текущей широты $\varphi$ определяется формулой $|a_k| = 2|w||v|\sin\varphi$.

Пример. $\varphi=60^{\circ},v=15 $ м/с - движение вдоль меридиана на Север. $|a_k| = 2|w||v|\sin\varphi$=2$\cdot7.27\cdot10^{-5}\cdot15\cdot\sin60^{\circ}=0.0019 m/s^{2}$

Вроде бы величина небольшая, НО: ошибка в координатах будет же пропорциональна через данную погрешность квадрату времени!
То есть за 1 час ошибка: $0.0019\cdot3600^{2}=24.5 km$. То есть, неучёт Кориолисова ускорения может привести за 1 час к ошибке в 25 км!!! Честно говоря, многовато получается ...

Просьба помочь, кто чем может

[Pphantom]

VitDer в сообщении #1424626 писал(а):

По характеру решаемой задачи, интерес представляют только силы, действующие в плоскости горизонта (касательная плоскость к Земному шару в точке), и $[w[wr']]\approx0$. Остаётся ускорение Кориолиса.

Уверены? Нет, конечно, оно остается, но только ли оно?

VitDer в сообщении #1424626 писал(а):

Его значение для текущей широты $\varphi$ определяется формулой $|a_k| = 2|w||v|\sin\varphi$.

Куда направлен вектор $w$? Если что, вопрос риторический.

VitDer в сообщении #1424626 писал(а):

ошибка в координатах будет же пропорциональна через данную погрешность квадрату времени!
То есть за 1 час ошибка: $0.0019\cdot3600^{2}=24.5 km$.

"Пропорциональна" и "равна" - это все-таки не одно и то же.

VitDer в сообщении #1424626 писал(а):

Честно говоря, многовато получается ...

Многовато, но из-за мелких неточностей, которые вы допустили по дороге.

А так... смотря с чем сравнивать. Точка на широте $60^\circ$ из-за вращения Земли движется с линейной скоростью четверть километра в секунду и за час "проедет" 900 км. По сравнению с этим вроде и не очень много, нет?

[VitDer]

Вектор $[w[wr']]\approx0$ работает в плоскости меридиана и ускорение Кориолиса скомпенсировать (хотя бы частично) не может:
оно работает перпендикулярно плоскости меридиана ...

Вектор $w$ направлен по оси вращения от Южного полюса к Северному.

По сравнению с 900 км, конечно, немного, но ... Дифференциальные уравнения многих земных объектов не учитывают эффекты
вращения Земли, а тут получается, что поправка большая ...

[mihiv]

Допустим едет автомобиль массой 1000 кг, со скоростью 15 м/c. На него действует сила Кориолиса порядка 2 Н перпендикулярно скорости. Но чтобы появилось ускорение в этом направлении, с.К. должна преодолеть силу трения, которая значительно больше. Так что ее действие никак не проявляется. Для самолетов ее влияние заметно, но мало по сравнению с воздействием ветра.

[realeugene]

VitDer,
вы в расчётах используете ускорение свободного падения $9.81 \frac{\text м}{\text с ^2}$, а на самом деле оно у вас равно $9.80 \frac{\text м}{\text с ^2}$. Почему при долгом лежании у вас на весах ваша гречка не улетает в космос?

[Pphantom]

VitDer в сообщении #1424665 писал(а):

Вектор $[w[wr']]\approx0$ работает в плоскости меридиана и ускорение Кориолиса скомпенсировать (хотя бы частично) не может:

Не сможет. Но исходно вы заявляли несколько другое - что вас интересуют силы в плоскости горизонта.

VitDer в сообщении #1424665 писал(а):

Вектор $w$ направлен по оси вращения от Южного полюса к Северному.

А, да, тут действительно все было верно, просто написано кривовато.

VitDer в сообщении #1424665 писал(а):

Дифференциальные уравнения многих земных объектов не учитывают эффекты
вращения Земли, а тут получается, что поправка большая ...

Ну так нет смысла учитывать малый снос, компенсируемый (как правило) силами трения. Вот если вы займетесь расчетами, например, для стрельбы из пушек, то там это учитывать придется.

[VitDer]

Интуитивно, всё более или менее понятно. Математически же - нет.
Вот мы использовали ДУ без ускорения К.: $a'=F/m$. Потом решили, что это "нехорошо", и надо
$a'=F/m-2[wv']$. В первом случае $v'(t)=v'(0)+(1/m)\int\limits_{0}^{t}Fdt$, во втором
$v'(t)=v'(0)+(1/m)\int\limits_{0}^{t}Fdt-2\int\limits_{0}^{t}wv'dt$. Очевидна ошибка относительной скорости как функция времени $\delta v'(t)=+2\int\limits_{0}^{t}wv'dt$, и как-то трение там в явном виде и не фигурирует равно как и то, что ускорение К. мало и "скомпенсируется" ...

Проблема в этом

[arseniiv]

Ну так вы не учли, что в первом случае одна $F$, а во втором другая $F$. Там разная сила трения и сидит.

[realeugene]

VitDer в сообщении #1424744 писал(а):

Потом решили, что это "нехорошо", и надо

Физику нельзя высасывать из пальца. Особенно, когда дважды интегрируются ускорения. Вы рассматриваете силу Корриолиса, но игнорируете иные, более существеннные силы, задающие траекторию движения тела. Например, со стороны рельс.

[VitDer]

arseniiv в сообщении #1424753 писал(а):

Ну так вы не учли, что в первом случае одна $F$, а во втором другая $F$. Там разная сила трения и сидит.

Спасибо! Это всё объясняет. Здесь была ошибка. Получается, так просто аналитически не оценить погрешность, возникающую от того, что не учитывается сила Кориолиса ... Остаётся только одно: составить систему ДУ, считая земную СО инерциальной. Потом составить ту же систему, но добавить ускорение К, и сравнивать решения.

-- 09.11.2019, 14:34 --

realeugene в сообщении #1424769 писал(а):

Физику нельзя высасывать из пальца. Особенно, когда дважды интегрируются ускорения. Вы рассматриваете силу Корриолиса, но игнорируете иные, более существеннные силы, задающие траекторию движения тела. Например, со стороны рельс.

Силы со стороны рельс остаются и в случае, когда земная система координат инерциальная, и когда вращающаяся. Вот только они будут разные по величине, но общий результат будет примерно одним и тем же для малой относительной скорости $v'$. Просто хотелось бы получить количественную оценку, вызванную неучётом эффекта вращения Земли. Но, похоже, она индивидуальна для каждого конкретного случая (объекта) даже при фиксированных параметрах $w, v'$

P.S. Поправка Кориолиса $-2[wv']$ определяется двумя величинами, не зависящими от физических свойств объекта. Поэтому это и создало у меня неправильное представление, что и эффект от указанной поправки будет одним и тем же для любого движущегося объекта со скоростью $v'$.

[realeugene]

VitDer в сообщении #1424841 писал(а):

Силы со стороны рельс остаются и в случае, когда земная система координат инерциальная, и когда вращающаяся.

А рельсы остаются прямыми в любом случае.

[VitDer]

realeugene в сообщении #1424893 писал(а):

VitDer в сообщении #1424841 писал(а):

Силы со стороны рельс остаются и в случае, когда земная система координат инерциальная, и когда вращающаяся.

А рельсы остаются прямыми в любом случае.

Пусть будут прямыми. Но они как раз и будут своеобразными "компенсаторами" силы К. Как и правый берег рек выступает "компенсатором" силы К., действующей на текущие на Север водные массы.

[realeugene]

VitDer в сообщении #1424896 писал(а):

Пусть будут прямыми. Но они как раз и будут своеобразными "компенсаторами" силы К.

Вот именно. Когда у вас есть рельсы, вам обычно не нужно задумываться о Корриолисе. А когда рельсов нет, то, да, бывают ситуации, когда без учёта Корриолиса не обойтись.

[VitDer]

А если рельсы будут направлены с Запада на Восток? Тогда они будут уже не такими хорошими "компенсаторами" ускорения К.

[Pphantom]

VitDer в сообщении #1424903 писал(а):

А если рельсы будут направлены с Запада на Восток? Тогда они будут уже не такими хорошими "компенсаторами" ускорения К.

Кориолисово ускорение всегда направлено перпендикулярно скорости во вращающейся системе отсчета. Так что принципиально ситуация не изменится.