2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение10.09.2019, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
Рассмотрим систему уравнений Навье-Стокса
$$\begin{gathered}  \frac{{\partial {\mathbf{v}}}}{{\partial t}} + \nabla \left( {\frac{p}{\rho } + \frac{{v^2 }}{2}} \right) = \nu \Delta {\mathbf{v}} + {\mathbf{v}} \times (\nabla  \times {\mathbf{v}}) \hfill \\  \nabla  \cdot {\mathbf{v}} = 0 \hfill \\ \end{gathered}  \eqno(1)$$где $\rho$ и $\nu$ - некоторые положительные константы.

Пусть теперь в целой области течение устроено так, что
$${\mathbf{v}} + \lambda \nabla  \times {\mathbf{v}} = 0 \eqno(2)$$где $\lambda$ - некоторая ненулевая константа размерности длины (хотя это, конечно, псевдоскаляр).

Тогда система $(1,2)$ сводится всего к одному уравнению на функцию ${\mathbf{u}}({\mathbf{r}})$, зависящую только от координат
$${\mathbf{u}} + \lambda \nabla  \times {\mathbf{u}} = 0 \eqno(3)$$После того как $(3)$ решено, скорости и давление могут быть найдены по формулам
$$\begin{gathered}  {\mathbf{v}}(t,{\mathbf{r}}) = \exp \left( { - \nu t\lambda ^{ - 2} } \right){\mathbf{u}}({\mathbf{r}}) \hfill \\
  p(t,{\mathbf{r}}) = f(t) - \frac{\rho }{2}\exp \left( { - 2\nu t\lambda ^{ - 2} } \right)\left| {{\mathbf{u}}({\mathbf{r}})} \right|^2  \hfill \\ \end{gathered}  \eqno(4)$$Как видно, решение затухает "не меняя формы" за характерное время ${{\lambda ^2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\lambda ^2 } \nu }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \nu }$, которое в принципе может быть довольно большим.

Рассмотрим в качестве примера аксиально симметричное решение, которое в цилиндрических координатах $(r,\varphi ,z)$ может быть записано в виде
$${\mathbf{u}} = a(r,z){\mathbf{e}}_r  + b(r,z){\mathbf{e}}_\varphi   + c(r,z){\mathbf{e}}_z  \eqno(5)$$
Подставляя $(5)$ в $(3)$, приходим к системе
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {a &=& \lambda \dfrac{{\partial b}}{{\partial z}}}  \\   {b &=& \lambda \left( {\dfrac{{\partial c}}{{\partial r}} - \dfrac{{\partial a}}{{\partial z}}} \right)}  \\   {c &=&  - \lambda \left( {\dfrac{{\partial b}}{{\partial r}} + \dfrac{b}{r}} \right)}  \\  \end{array} } \right. \eqno(6)$$Откуда видно, что можно сначала найти $b$, решив уравнение
$$\frac{{\partial ^2 b}}{{\partial z^2 }} + \frac{{\partial ^2 b}}{{\partial r^2 }} + \frac{1}{r}\frac{{\partial b}}{{\partial r}} + \left( {\frac{1}{{\lambda ^2 }} - \frac{1}{{r^2 }}} \right)b = 0 \eqno(7)$$а затем выразить через найденное решение функции $a$ и $c$.

Потребуем теперь, чтобы решение $(6)$ было ограниченным и стремящимся к нулю при $r \to \infty$. В результате получим
$$\begin{gathered}  a(r,z) = \lambda A'(z)J_1 \left( {\frac{r}{\mu }} \right) \hfill \\  b(r,z) = A(z)J_1 \left( {\frac{r}{\mu }} \right) \hfill \\  c(r,z) =  - \frac{\lambda }{\mu }A(z)J_0 \left( {\frac{r}{\mu }} \right) \hfill \\ \end{gathered}  \eqno(8)$$где $\mu$ - новая положительная константа размерности длины, а функция $A(z)$ находится из уравнения
$$A'' + \left( {\frac{1}{{\lambda ^2 }} - \frac{1}{{\mu ^2 }}} \right)A = 0 \eqno(9)$$Получились эдакие ктулхи торнадоподобные вихрики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение16.09.2019, 21:50 
Заслуженный участник


03/01/09
1719
москва
При изменении $r$ функция $b(r,z)$ может менять знак, т.е. получается, что на разных расстояниях от оси $z$ изменяется направление вращения этого вихря вокруг оси.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение16.09.2019, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
Вдумчивое созерцание графика бесселевой функции $J_1$ приводит к такому же выводу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение17.09.2019, 15:33 
Заслуженный участник


28/12/12
8012
Чем-то оно вихри Тейлора-Грина напоминает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение17.09.2019, 21:58 
Заслуженный участник


03/01/09
1719
москва
В этом решении есть одна странность: непонятно, куда девается угловой момент жидкости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение17.09.2019, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
Проверьте, вдруг я ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение02.10.2019, 11:43 
Заслуженный участник


03/01/09
1719
москва
Одно из решений уравнения (9): $A(z)=\sin kz, k=\sqrt {\frac 1{\lambda ^2}-\frac 1{\mu ^2}}$. В этом случае система состоит из одинаковых нанизанных на ось $z$ дисков. Соседние диски вращаются в противоположных направлениях, поэтому суммарный угловой момент системы равен 0, и противоречия нет. Каждый диск, в свою очередь, состоит из бесконечного числа колец. Соседние кольца в каждом диске также вращаются в противоположных направлениях.
По отношению к этим решениям уравнение (1) ведет себя как линейное, т.е. сумма решений такого вида также является решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение02.10.2019, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
mihiv в сообщении #1418664 писал(а):
По отношению к этим решениям уравнение (1) ведет себя как линейное, т.е. сумма решений такого вида также является решением.
Это просто потому, что линейно уравнение $(3)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение07.11.2019, 17:58 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Утундрий в сообщении #1414312 писал(а):
рим систему уравнений Навье-Стокса
$$\begin{gathered}  \frac{{\partial {\mathbf{v}}}}{{\partial t}} + \nabla \left( {\frac{p}{\rho } + \frac{{v^2 }}{2}} \right) = \nu \Delta {\mathbf{v}} + {\mathbf{v}} \times (\nabla  \times {\mathbf{v}}) \hfill \\  \nabla  \cdot {\mathbf{v}} = 0 \hfill \\ \end{gathered}  \eqno(1)$$где $\rho$ и $\nu$ - некоторые положительные константы.

Пусть теперь в целой области течение устроено так, что
$${\mathbf{v}} + \lambda \nabla  \times {\mathbf{v}} = 0 \eqno(2)$$где $\lambda$ - некоторая ненулевая константа

уравнений 7,неизвестных функций 4. Чудно

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение07.11.2019, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
pogulyat_vyshel в сообщении #1424572 писал(а):
уравнений 7

Интересная версия, но уравнений все-таки 4. Одно векторное и одно скалярное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение07.11.2019, 18:14 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Навье-Стокс + условие несжимаемости это 4 уравнения; (2) -- это 3 уравнения 4+3=7

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение07.11.2019, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
Там ещё много уравнений, их количество тоже можно сложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение07.11.2019, 18:35 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Понятно, т.е. вопрос о совместности данной переопределенной задачи вас не колеблет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение07.11.2019, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
Сформулируйте суть претензии или вопрос по возможности чётко и внятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости
Сообщение07.11.2019, 19:07 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Вот сейчас понял, это просто про поиск частных решений история. Все вопросов нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group