Винтовые течения вязкой несжимаемой жидкости

[Утундрий]

Рассмотрим систему уравнений Навье-Стокса

$$\begin{gathered} \frac{{\partial {\mathbf{v}}}}{{\partial t}} + \nabla \left( {\frac{p}{\rho } + \frac{{v^2 }}{2}} \right) = \nu \Delta {\mathbf{v}} + {\mathbf{v}} \times (\nabla \times {\mathbf{v}}) \hfill \\ \nabla \cdot {\mathbf{v}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \eqno(1)$$

где $\rho$ и $\nu$ - некоторые положительные константы.

Пусть теперь в целой области течение устроено так, что

$${\mathbf{v}} + \lambda \nabla \times {\mathbf{v}} = 0 \eqno(2)$$

где $\lambda$ - некоторая ненулевая константа размерности длины (хотя это, конечно, псевдоскаляр).

Тогда система $(1,2)$ сводится всего к одному уравнению на функцию ${\mathbf{u}}({\mathbf{r}})$, зависящую только от координат

$${\mathbf{u}} + \lambda \nabla \times {\mathbf{u}} = 0 \eqno(3)$$

После того как $(3)$ решено, скорости и давление могут быть найдены по формулам

$$\begin{gathered} {\mathbf{v}}(t,{\mathbf{r}}) = \exp \left( { - \nu t\lambda ^{ - 2} } \right){\mathbf{u}}({\mathbf{r}}) \hfill \\ p(t,{\mathbf{r}}) = f(t) - \frac{\rho }{2}\exp \left( { - 2\nu t\lambda ^{ - 2} } \right)\left| {{\mathbf{u}}({\mathbf{r}})} \right|^2 \hfill \\ \end{gathered} \eqno(4)$$

Как видно, решение затухает "не меняя формы" за характерное время ${{\lambda ^2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\lambda ^2 } \nu }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \nu }$, которое в принципе может быть довольно большим.

Рассмотрим в качестве примера аксиально симметричное решение, которое в цилиндрических координатах $(r,\varphi ,z)$ может быть записано в виде

$${\mathbf{u}} = a(r,z){\mathbf{e}}_r + b(r,z){\mathbf{e}}_\varphi + c(r,z){\mathbf{e}}_z \eqno(5)$$

Подставляя $(5)$ в $(3)$, приходим к системе

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {a &=& \lambda \dfrac{{\partial b}}{{\partial z}}} \\ {b &=& \lambda \left( {\dfrac{{\partial c}}{{\partial r}} - \dfrac{{\partial a}}{{\partial z}}} \right)} \\ {c &=& - \lambda \left( {\dfrac{{\partial b}}{{\partial r}} + \dfrac{b}{r}} \right)} \\ \end{array} } \right. \eqno(6)$$

Откуда видно, что можно сначала найти $b$, решив уравнение

$$\frac{{\partial ^2 b}}{{\partial z^2 }} + \frac{{\partial ^2 b}}{{\partial r^2 }} + \frac{1}{r}\frac{{\partial b}}{{\partial r}} + \left( {\frac{1}{{\lambda ^2 }} - \frac{1}{{r^2 }}} \right)b = 0 \eqno(7)$$

а затем выразить через найденное решение функции $a$ и $c$.

Потребуем теперь, чтобы решение $(6)$ было ограниченным и стремящимся к нулю при $r \to \infty$. В результате получим

$$\begin{gathered} a(r,z) = \lambda A'(z)J_1 \left( {\frac{r}{\mu }} \right) \hfill \\ b(r,z) = A(z)J_1 \left( {\frac{r}{\mu }} \right) \hfill \\ c(r,z) = - \frac{\lambda }{\mu }A(z)J_0 \left( {\frac{r}{\mu }} \right) \hfill \\ \end{gathered} \eqno(8)$$

где $\mu$ - новая положительная константа размерности длины, а функция $A(z)$ находится из уравнения

$$A'' + \left( {\frac{1}{{\lambda ^2 }} - \frac{1}{{\mu ^2 }}} \right)A = 0 \eqno(9)$$

Получились эдакие ктулхи торнадоподобные вихрики.

[mihiv]

При изменении $r$ функция $b(r,z)$ может менять знак, т.е. получается, что на разных расстояниях от оси $z$ изменяется направление вращения этого вихря вокруг оси.

[Утундрий]

Вдумчивое созерцание графика бесселевой функции $J_1$ приводит к такому же выводу.

[DimaM]

Чем-то оно вихри Тейлора-Грина напоминает.

[mihiv]

В этом решении есть одна странность: непонятно, куда девается угловой момент жидкости.

[Утундрий]

Проверьте, вдруг я ошибся?

[mihiv]

Одно из решений уравнения (9): $A(z)=\sin kz, k=\sqrt {\frac 1{\lambda ^2}-\frac 1{\mu ^2}}$. В этом случае система состоит из одинаковых нанизанных на ось $z$ дисков. Соседние диски вращаются в противоположных направлениях, поэтому суммарный угловой момент системы равен 0, и противоречия нет. Каждый диск, в свою очередь, состоит из бесконечного числа колец. Соседние кольца в каждом диске также вращаются в противоположных направлениях.
По отношению к этим решениям уравнение (1) ведет себя как линейное, т.е. сумма решений такого вида также является решением.

[Утундрий]

mihiv в сообщении #1418664 писал(а):

По отношению к этим решениям уравнение (1) ведет себя как линейное, т.е. сумма решений такого вида также является решением.

Это просто потому, что линейно уравнение $(3)$.

[pogulyat_vyshel]

Утундрий в сообщении #1414312 писал(а):

рим систему уравнений Навье-Стокса

$$\begin{gathered} \frac{{\partial {\mathbf{v}}}}{{\partial t}} + \nabla \left( {\frac{p}{\rho } + \frac{{v^2 }}{2}} \right) = \nu \Delta {\mathbf{v}} + {\mathbf{v}} \times (\nabla \times {\mathbf{v}}) \hfill \\ \nabla \cdot {\mathbf{v}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \eqno(1)$$

где $\rho$ и $\nu$ - некоторые положительные константы.

Пусть теперь в целой области течение устроено так, что

$${\mathbf{v}} + \lambda \nabla \times {\mathbf{v}} = 0 \eqno(2)$$

где $\lambda$ - некоторая ненулевая константа

уравнений 7,неизвестных функций 4. Чудно

[Утундрий]

pogulyat_vyshel в сообщении #1424572 писал(а):

уравнений 7

Интересная версия, но уравнений все-таки 4. Одно векторное и одно скалярное.

[pogulyat_vyshel]

Навье-Стокс + условие несжимаемости это 4 уравнения; (2) -- это 3 уравнения 4+3=7

[Утундрий]

Там ещё много уравнений, их количество тоже можно сложить.

[pogulyat_vyshel]

Понятно, т.е. вопрос о совместности данной переопределенной задачи вас не колеблет.

[Утундрий]

Сформулируйте суть претензии или вопрос по возможности чётко и внятно.

[pogulyat_vyshel]

Вот сейчас понял, это просто про поиск частных решений история. Все вопросов нет.