Теория вероятностей и выпуклые функции

[bubu gaga]

Дана выпуклая функция $u$. По определению, для любых $a$, $b$ и $p \in [0, 1]$

$$ u \bigl(p a \; + \; (1 - p) b \bigr) \; \ge \; p\, u(a) \; + \; (1-p) \, u(b) $$

Теперь вместо вместо чисел $a$ и $b$, берём две случайные величины $A$ и $B$. Как обосновать переход к следующему неравенству?

$$ u \bigl(p A \; + \; (1 - p) B \bigr) \; \ge \; p\, u(A) \; + \; (1-p) \, u(B) $$

Интуитивно мне кажется это очевидным, но хотелось бы узнать, как выглядит строгое рассуждение для таких случаев. Спасибо!

[--mS--]

Случайная величина есть (измеримая) функция, действующая из пространства элементарных исходов $\Omega$ в $\mathbb R$. Поэтому для каждого $\omega\in\Omega$ значения $A(\omega)$ и $B(\omega)$ суть действительные числа.

Взяв произвольное $\omega\in\Omega$ и подставив число $A(\omega)$ вместо $a$, число $B(\omega)$ вместо $b$, получим $ u \bigl(p A(\omega) + (1 - p) B (\omega) \bigr) \ge p\, u(A(\omega)) + (1-p) \, u(B(\omega)). $

Собственно, это и есть требуемое неравенство. Запись $ u \bigl(p A + (1 - p) B \bigr) \ge p\, u(A) + (1-p) \, u(B) $ должна означать, что это неравенство выполнено при любом $\omega\in\Omega$.