Почему 4-скорость - не поле?

[Утундрий]

В некотором царстве, в некотором римановом пространстве, задана была времениподобная кривая $x^\mu = x^\mu (s)$, параметризованная собственным временем $s$. И подчинялась кривая сия уравнению первого порядка

$$\dot x^\mu = u^\mu (x) \qquad (1)$$

А поскольку $ds^2 = g_{\mu \nu } (x)dx^\mu dx^\nu $, ограничена была правая часть $(1)$ равенством $g_{\mu \nu } \dot x^\mu \dot x^\nu = \boxed{u^\mu u_\mu = 1}$, и больше ничем ограничена не была.

И шёл как-то по тому царству Иоанн Дваждырак, да на кривую ту наткнулся. Взялся Дваждырак её дифференцировать от скуки и полез из кривой Змей Чешуйчатый $\ddot x^\mu = u^\mu _{,\alpha } u^\alpha = \left( {u^\mu _{;\alpha } - \Gamma _{\beta \alpha }^\mu u^\beta } \right)u^\alpha $ и сложился он в уравнение

$$\dot u^\mu + \Gamma _{\alpha \beta }^\mu u^\alpha u^\beta = u^\mu _{;\alpha } u^\alpha $$

Потаскал Иоанн уравнение за верхние индексы, а оно возьми и вывернись!

$$\dot u_\mu - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta ,\mu } u^\alpha u^\beta = u_{\mu ;\alpha } u^\alpha = \frac{1}{2}\left( {u_{\mu ;\alpha } - u_{\alpha ;\mu } } \right)u^\alpha + \frac{1}{2}\left( {u_{\mu ;\alpha } + u_{\alpha ;\mu } } \right)u^\alpha $$

Видит Иоанн, не сдюжить одному. Стал тогда Киллинга кликать. Прискакал верный Киллинг, копытом стукнул, и выскочило из под него (из-под копыта, а не из-под Киллинга) уравнение

$$u_{\mu ;\nu } + u_{\nu ;\mu } = 0 \qquad (2)$$

Вонзил Иоанн в змея уравнение киллингово и скукожился змей до выражения

$$\dot u_\mu - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta ,\mu } u^\alpha u^\beta = \operatorname{F} _{\mu \alpha } u^\alpha \qquad (3)$$

в правой части коего Чисто Поле стояло

$$\operatorname{F} _{\mu \nu } : = \frac{1}{2}\left( {u_{\mu ,\nu } - u_{\nu ,\mu } } \right) \qquad (4)$$

-- Тривиальные случаи рассмотри! -- проржал верный Киллинг и ускакал в направлении, производной Ли задаваемом. Остался Иоанн Дваждырак один, тривиальные случаи рассматривать. Распрямил он пространство событий и смочил змея живым Тейлором

$$u_\mu = a_\mu + a_{\mu \alpha } x^\alpha + \frac{1}{2}a_{\mu \alpha \beta } x^\alpha x^\beta + ...$$

Набух змей и заколосился. А когда опали с него взаимно сократившиеся колосья, обернулся змей выражением компактным

$$\dot x^\mu = a^\mu + \operatorname{F} _{ \cdot \nu }^\mu x^\nu \qquad (5)$$

с $a$ и $\operatorname{F}$ от координат не зависящими.

Почесал Иоанн Дваждырак репу и пошёл Гамильтона искать.

[Munin]

Утундрий в сообщении #1418117 писал(а):

в правой части коего Чисто Поле стояло

Почему оно поле, если определено только на кривой?

Утундрий в сообщении #1418117 писал(а):

с $a$ и $\operatorname{F}$ от координат не зависящими.

Почему $F$-то не зависит? Если бы оно не зависело, у уравнения было бы одно на все времена решение, а решений у него много - по сути, для каждой (аналитической) кривой есть своё уравнение, которое даёт эту кривую как своё решение.

Что-то вы несуразное придумали.

[Утундрий]

Munin в сообщении #1418125 писал(а):

Почему оно поле, если определено только на кривой?

Сие ниоткуда не следует. В уравнении $(1)$ справа стоит функция точки $x$, которая запросто может быть задана и во всём пространстве.

Munin в сообщении #1418125 писал(а):

Почему $F$-то не зависит?

Смотрите. Пусть пространство плоское, а координаты - стандартные.

$$\begin{gathered} u_{\mu ,\nu } = a_{\mu \nu } + a_{\mu \nu \alpha } x^\alpha + \frac{1}{2}a_{\mu \nu \alpha \beta } x^\alpha x^\beta + ... \Rightarrow \hfill \\ a_{\mu \nu } + a_{\nu \mu } = 0 \hfill \\ a_{\mu \nu \alpha } + a_{\nu \mu \alpha } = 0 \hfill \\ a_{\mu \nu \alpha \beta } + a_{\nu \mu \alpha \beta } = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} $$

Когда число индексов три или больше, можно совершить следующую перестановку

$$\begin{gathered} - a_{\mu \nu \alpha } - a_{\nu \mu \alpha } = 0 \hfill \\ a_{\alpha \mu \nu } + a_{\mu \alpha \nu } = 0 \hfill \\ a_{\nu \alpha \mu } + a_{\alpha \nu \mu } = 0 \hfill \\ \end{gathered} $$

Сложив их, находим

$$a_{\alpha \mu \nu } = 0$$

Теперь, учтя первое равенство, получим

$$\operatorname{F} _{\mu \nu } = a_{\mu \nu } = const$$

[Munin]

Утундрий в сообщении #1418149 писал(а):

Сие ниоткуда не следует.

Начали-то с кривой.

Не на кривой что-то можно определить. Но со слишком большой свободой.

----

Вы хотите сказать, что все полиномиальные функции - квадратичные? Думаю, с этим в "ФизМатЮмор".

[Утундрий]

Munin
Я подожду, пока вы соизволите прочесть написанное выше.

[SergeyGubanov]

Идёт Иоанн Дваждырак мимо рынка, а там в математической лавке векторные поля продают:

• Геодезическое
• Киллингово
• Безвихревое

Хитрый продавец скидку предлагает, говорит -- купи любые два, а третье бесплатно.

[pogulyat_vyshel]

если векторное поле (1) превратилось в векторное поле (5) в каких-то специальных локальных координатах то ни чего удивительного я не вижу можно было и вовсе теорему о выпрямлении применить, а если утверждается, что это в любых локальных координатах так, то это наверняка неверно, форма (5) неинвариантна

[Slav-27]

Поле Киллинга -- это поле, поток которого сохраняет метрику. Если ещё все его векторы единичной длины, то около каждого события можно выбрать координаты следующим образом. Выберем пространственноподобную гиперповерхность $S$, проходящую через наше событие, на этой поверхности какие-нибудь координаты $x^1, x^2, x^3$, а потом разнесём их потоком $u$ в некоторую 4-окрестность нашего события, в качестве $x_0$ будем использовать параметр интегральной кривой, так чтобы $S$ задавалась уравнением $x^0=0$. По построению в этих координатах $u^\mu=\delta^\mu_0, g_{00}=1, g_{\mu\nu,0}=0$. Не знаю, чего вы хотите, но, может, поможет.