2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почему 4-скорость - не поле?
Сообщение29.09.2019, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
В некотором царстве, в некотором римановом пространстве, задана была времениподобная кривая $x^\mu   = x^\mu  (s)$, параметризованная собственным временем $s$. И подчинялась кривая сия уравнению первого порядка $$\dot x^\mu   = u^\mu  (x) \qquad (1)$$А поскольку $ds^2  = g_{\mu \nu } (x)dx^\mu  dx^\nu  $, ограничена была правая часть $(1)$ равенством $g_{\mu \nu } \dot x^\mu  \dot x^\nu   = \boxed{u^\mu  u_\mu   = 1}$, и больше ничем ограничена не была.

И шёл как-то по тому царству Иоанн Дваждырак, да на кривую ту наткнулся. Взялся Дваждырак её дифференцировать от скуки и полез из кривой Змей Чешуйчатый $\ddot x^\mu   = u^\mu  _{,\alpha } u^\alpha   = \left( {u^\mu  _{;\alpha }  - \Gamma _{\beta \alpha }^\mu  u^\beta  } \right)u^\alpha $ и сложился он в уравнение $$\dot u^\mu   + \Gamma _{\alpha \beta }^\mu  u^\alpha  u^\beta   = u^\mu  _{;\alpha } u^\alpha  $$Потаскал Иоанн уравнение за верхние индексы, а оно возьми и вывернись!$$\dot u_\mu   - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta ,\mu } u^\alpha  u^\beta   = u_{\mu ;\alpha } u^\alpha   = \frac{1}{2}\left( {u_{\mu ;\alpha }  - u_{\alpha ;\mu } } \right)u^\alpha   + \frac{1}{2}\left( {u_{\mu ;\alpha }  + u_{\alpha ;\mu } } \right)u^\alpha  $$Видит Иоанн, не сдюжить одному. Стал тогда Киллинга кликать. Прискакал верный Киллинг, копытом стукнул, и выскочило из под него (из-под копыта, а не из-под Киллинга) уравнение $$u_{\mu ;\nu }  + u_{\nu ;\mu }  = 0 \qquad (2)$$Вонзил Иоанн в змея уравнение киллингово и скукожился змей до выражения$$\dot u_\mu   - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta ,\mu } u^\alpha  u^\beta   = \operatorname{F} _{\mu \alpha } u^\alpha  \qquad (3)$$в правой части коего Чисто Поле стояло $$\operatorname{F} _{\mu \nu } : = \frac{1}{2}\left( {u_{\mu ,\nu }  - u_{\nu ,\mu } } \right) \qquad (4)$$-- Тривиальные случаи рассмотри! -- проржал верный Киллинг и ускакал в направлении, производной Ли задаваемом. Остался Иоанн Дваждырак один, тривиальные случаи рассматривать. Распрямил он пространство событий и смочил змея живым Тейлором$$u_\mu   = a_\mu   + a_{\mu \alpha } x^\alpha   + \frac{1}{2}a_{\mu \alpha \beta } x^\alpha  x^\beta   + ...$$Набух змей и заколосился. А когда опали с него взаимно сократившиеся колосья, обернулся змей выражением компактным$$\dot x^\mu   = a^\mu   + \operatorname{F} _{ \cdot \nu }^\mu  x^\nu  \qquad (5)$$с $a$ и $\operatorname{F}$ от координат не зависящими.

Почесал Иоанн Дваждырак репу и пошёл Гамильтона искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему 4-скорость - не поле?
Сообщение29.09.2019, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Утундрий в сообщении #1418117 писал(а):
в правой части коего Чисто Поле стояло

Почему оно поле, если определено только на кривой?

Утундрий в сообщении #1418117 писал(а):
с $a$ и $\operatorname{F}$ от координат не зависящими.

Почему $F$-то не зависит? Если бы оно не зависело, у уравнения было бы одно на все времена решение, а решений у него много - по сути, для каждой (аналитической) кривой есть своё уравнение, которое даёт эту кривую как своё решение.

Что-то вы несуразное придумали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему 4-скорость - не поле?
Сообщение29.09.2019, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Munin в сообщении #1418125 писал(а):
Почему оно поле, если определено только на кривой?
Сие ниоткуда не следует. В уравнении $(1)$ справа стоит функция точки $x$, которая запросто может быть задана и во всём пространстве.
Munin в сообщении #1418125 писал(а):
Почему $F$-то не зависит?
Смотрите. Пусть пространство плоское, а координаты - стандартные.$$\begin{gathered}  u_{\mu ,\nu }  = a_{\mu \nu }  + a_{\mu \nu \alpha } x^\alpha   + \frac{1}{2}a_{\mu \nu \alpha \beta } x^\alpha  x^\beta   + ... \Rightarrow  \hfill \\  a_{\mu \nu }  + a_{\nu \mu }  = 0 \hfill \\
  a_{\mu \nu \alpha }  + a_{\nu \mu \alpha }  = 0 \hfill \\  a_{\mu \nu \alpha \beta }  + a_{\nu \mu \alpha \beta }  = 0 \hfill \\  ... \hfill \\ 
\end{gathered} $$Когда число индексов три или больше, можно совершить следующую перестановку
$$\begin{gathered}   - a_{\mu \nu \alpha }  - a_{\nu \mu \alpha }  = 0 \hfill \\  a_{\alpha \mu \nu }  + a_{\mu \alpha \nu }  = 0 \hfill \\
  a_{\nu \alpha \mu }  + a_{\alpha \nu \mu }  = 0 \hfill \\ \end{gathered} $$Сложив их, находим$$a_{\alpha \mu \nu }  = 0$$Теперь, учтя первое равенство, получим$$\operatorname{F} _{\mu \nu }  = a_{\mu \nu }  = const$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему 4-скорость - не поле?
Сообщение29.09.2019, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Утундрий в сообщении #1418149 писал(а):
Сие ниоткуда не следует.

Начали-то с кривой.

Не на кривой что-то можно определить. Но со слишком большой свободой.

----

Вы хотите сказать, что все полиномиальные функции - квадратичные? Думаю, с этим в "ФизМатЮмор".

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему 4-скорость - не поле?
Сообщение29.09.2019, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Munin
Я подожду, пока вы соизволите прочесть написанное выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему 4-скорость - не поле?
Сообщение05.11.2019, 20:05 
Аватара пользователя


14/11/12
1312
Россия, Нижний Новгород
Идёт Иоанн Дваждырак мимо рынка, а там в математической лавке векторные поля продают:

  • Геодезическое
  • Киллингово
  • Безвихревое

Хитрый продавец скидку предлагает, говорит -- купи любые два, а третье бесплатно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему 4-скорость - не поле?
Сообщение07.11.2019, 11:17 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
если векторное поле (1) превратилось в векторное поле (5) в каких-то специальных локальных координатах то ни чего удивительного я не вижу можно было и вовсе теорему о выпрямлении применить, а если утверждается, что это в любых локальных координатах так, то это наверняка неверно, форма (5) неинвариантна

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему 4-скорость - не поле?
Сообщение10.11.2019, 23:02 
Заслуженный участник


14/10/14
981
Поле Киллинга -- это поле, поток которого сохраняет метрику. Если ещё все его векторы единичной длины, то около каждого события можно выбрать координаты следующим образом. Выберем пространственноподобную гиперповерхность $S$, проходящую через наше событие, на этой поверхности какие-нибудь координаты $x^1, x^2, x^3$, а потом разнесём их потоком $u$ в некоторую 4-окрестность нашего события, в качестве $x_0$ будем использовать параметр интегральной кривой, так чтобы $S$ задавалась уравнением $x^0=0$. По построению в этих координатах $u^\mu=\delta^\mu_0, g_{00}=1, g_{\mu\nu,0}=0$. Не знаю, чего вы хотите, но, может, поможет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group